Модель регрессии с временными и индивидуальными фиксированными эффектами

Моде́ль регре́ссии с временны́ми и индивидуа́льными фикси́рованными эффе́ктами (англ. two-way fixed-effects model), модель регрессии на панельных данных вида:

${\displaystyle y_{it}=\mu +\alpha _{i}+\lambda _{t}+\beta x_{it}+{\mathcal {u}}_{it},\ i=1,...,N,\ t=1,...,T,\ \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}=0,\ \sum _{t=1}^{T}\lambda _{t}=0}$,

где где ${\displaystyle y_{it}}$ – значение зависимой переменной для i-го объекта в момент времени t; ${\displaystyle \mu }$ – константа; ${\displaystyle \alpha _{i}}$ – индивидуальный эффект; ${\displaystyle \lambda _{t}}$ – временной эффект; ${\displaystyle x_{it}}$ - значение независимой переменной для i-го объекта в момент времени t; ${\displaystyle u_{it}}$ – случайная ошибка.

В рассматриваемой модели индивидуальные эффекты ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и временные эффекты ${\displaystyle \lambda _{t}}$ являются неизвестными постоянными параметрами, которые требуют оценивания.

Введение в модель индивидуальных эффектов компенсирует отсутствие в ней дополнительной объясняющей переменной, изменяющейся от объекта к объекту, которая либо просто неизвестна исследователю, либо не может быть измерена по каким-то причинам. Аналогично введение в модель временных эффектов компенсирует отсутствие в ней дополнительной объясняющей переменной, изменяющейся во времени, которая также либо неизвестна исследователю, либо не может быть измерена по каким-то причинам. Если указанные эффекты не включать в правые части уравнений, то обычно это приводит к смещению оценок коэффициентов, известному как «смещение вследствие пропуска существенной объясняющей переменной».

Получить оценки параметров двунаправленной модели с фиксированными эффектами можно методом наименьших квадратов (англ. Least-Squares Dummy Variable, LSDV-оценка), оценивая линейную регрессию ${\displaystyle y_{it}}$ на константу, ${\displaystyle x_{it}}$, ${\displaystyle (N-1)}$ бинарных (дамми) переменных ${\displaystyle D_{i}^{(2)},...,D_{i}^{(N)}}$ (переменная ${\displaystyle D_{i}^{(j)}}$ равна единице, если наблюдение относится к ${\displaystyle j}$-му объекту, и равна нулю в противном случае) и ${\displaystyle (T-1)}$ бинарных (дамми) переменных ${\displaystyle DT_{t}^{(2)},...,DT_{t}^{(T)}}$ (переменная ${\displaystyle D_{t}^{(s)}}$ равна единице, если наблюдение относится к моменту ${\displaystyle s}$, и равна нулю в противном случае). При этом приходится оценивать ${\displaystyle 1+(N-1)+(T-1)}$ параметров – количество, которое обычно бывает достаточно большим из-за значительного количества объектов панельного исследования. Однако представляющую первоочередной интерес оценку коэффициента ${\displaystyle \beta }$ можно получить и другим способом, не требующим оценивания большого количества параметров.

Обозначив ${\displaystyle {\bar {y}}_{t}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{it}}$ (средние по объектам), ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}y_{it}}$ (средние по времени), ${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{NT}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{t=1}^{T}y_{it}}$ (среднее по всем наблюдениям), получим:

${\displaystyle (y_{it}-{\bar {y}}_{i}-{\bar {y}}_{t}+{\bar {y}})=(x_{it}-{\bar {x}}_{i}-{\bar {x}}_{t}+{\bar {x}})\beta +(u_{it}-{\bar {u}}_{i}-{\bar {u}}_{t}+{\bar {u}})}$.

В этих обозначениях оценка наименьших квадратов для коэффициента ${\displaystyle \beta }$ (двунаправленная оценка с фиксированными эффектами – two-way fixed-effect estimator, TWFE-оценка) принимает вид:

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{TWFE}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\sum _{t=1}^{T}(y_{it}-{\bar {y}}_{i}-{\bar {y}}_{t}+{\bar {y}})(x_{it}-{\bar {x}}_{i}-{\bar {x}}_{t}+{\bar {x}})}{\sum _{i=1}^{N}\sum _{t=1}^{T}(x_{it}-{\bar {x}}_{i}-{\bar {x}}_{t}+{\bar {x}})^{2}}}}$.

Она численно совпадает с LSDV-оценкой, получаемой при оценивании модели с дамми-переменными. Используя соотношения

${\displaystyle ({\bar {y}}_{i}-{\bar {y}})=\alpha _{i}+({\bar {x}}_{i}-{\bar {x}})\beta +({\bar {u}}_{i}-{\bar {u}}),({\bar {y}}_{t}-{\bar {y}})=\lambda _{t}+({\bar {x}}_{t}-{\bar {x}})\beta +({\bar {u}}_{t}-{\bar {u}})}$,

можно получить и оценки для ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и ${\displaystyle \lambda _{t}}$:

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}=({\bar {y}}_{i}-{\bar {y}})-{\hat {\beta }}_{TWFE}({\bar {x}}_{i}-{\bar {x}}),{\hat {\lambda }}_{t}=({\bar {y}}_{t}-{\bar {y}})-{\hat {\beta }}_{TWFE}({\bar {x}}_{t}-{\bar {x}})}$.

Рассмотренная модель имеет одну, отличную от константы, объясняющую переменную ${\displaystyle x_{it}}$ Обобщение на случай нескольких таких переменных проводится аналогично.