Метод неопределённых коэффициентов

Ме́тод неопределённых коэффицие́нтов, применяется для вычисления коэффициентов в выражениях, у которых численные значения некоторых постоянных неизвестны. Например, для вычисления неопределённого интеграла от функции

${\displaystyle {\frac {3x^{2}-1}{x(x^{2}-1)}}}$

её удобно представить в виде суммы дробей с постоянными числителями и знаменателями ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x-1}$ и ${\displaystyle x+1}$, т. е. в виде

${\displaystyle {\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x+1}}}$,

где ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle C}$ – некоторые числа (коэффициенты, подлежащие определению). Чтобы найти их, приравнивают два выражения для указанной функции, т. е. пишут:

${\displaystyle {\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x+1}}={\frac {3x^{2}-1}{x(x^{2}-1)}}}$

– и, освобождаясь от знаменателей, получают равенство

${\displaystyle (A+B+C)x^{2}+(B-C)x-A=3x^{2}-1}$

и требуют, чтобы оно выполнялось при всех ${\displaystyle x}$. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях ${\displaystyle x}$ в правой и левой частях совпадают. Так получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: ${\displaystyle A+B+C=3}$, ${\displaystyle B-C=0}$, ${\displaystyle A=1}$, откуда ${\displaystyle A=B=C=1}$. Поэтому

${\displaystyle {\frac {3x^{2}-1}{x(x^{2}-1)}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}}$;

справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Успех применения метода неопределённых коэффициентов зависит от правильности выбора выражений, коэффициенты которых отыскиваются.

Особенно важно применение метода неопределённых коэффициентов к задачам, в которых множество неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся, например, задача деления степенных рядов и задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда. Пусть нужно найти решение дифференциального уравнения ${\displaystyle {y}''+xy=0}$ такое, что ${\displaystyle {y}'=1}$ при ${\displaystyle x=0}$. Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение этого уравнения с указанным условием имеет вид степенного ряда

${\displaystyle y=x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+c_{5}x^{5}+\ldots \;}$,

что даёт для ${\displaystyle {y}''}$ выражение

${\displaystyle 2c_{2}+3\cdot 2c_{3}x+4\cdot 3c_{4}z^{2}+5\cdot 4c_{5}x^{3}+\dots \;}$.

Подставляя его и выражение для произведения ${\displaystyle xy}$ в левую часть исходного уравнения, после приведения подобных членов получают равенство

${\displaystyle 2c_{2}+3\cdot 2c_{3}x+(4\cdot 3c_{4}+1)x^{2}+(5\cdot 4c_{5}+c_{2})x^{3}+\dots =0}$,

откуда для определения неизвестных коэффициентов получают бесконечную систему уравнений: ${\displaystyle 2c_{2}=0}$, ${\displaystyle \,3\cdot 2c_{3}=0}$, ${\displaystyle \,4\cdot 3c_{4}+1=0}$,${\displaystyle \;5\cdot 4c_{5}+c_{2}=0}$,${\displaystyle \;\dots }$;. Решая эти уравнения последовательно, находят

${\displaystyle c_{2}=0,\,c_{3}=0,\,c_{4}=-{\frac {1}{3\cdot 4}},\,c_{5}=0,\,c_{6}=0,\,c_{7}={\frac {1}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7}},\;\dots \;}$,

то есть

${\displaystyle y=x-{\frac {1}{3\cdot 4}}x^{4}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\;\dots \;}$.