Мера Жордана

Ме́ра Жорда́на, для параллелепипеда

{{center|${\displaystyle \Delta =\left\{a_{i}\leqslant x_{i}\leqslant b_{i};\quad a_{i}<b_{i},\ldots ,\quad i=1,2,\ldots ,n\right\}}$ (*) в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, объём ${\displaystyle m\Delta =\prod _{i=1}^{n}\left(b_{i}-a_{i}\right)}$ этого параллелепипеда. Для ограниченного множества ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ определяются: внешняя мера Жордана</b_i,></math>

${\displaystyle m_{e}E=\inf \sum _{j=1}^{k}m\Delta _{j},\quad \bigcup _{j=1}^{k}\Delta _{j}\supset E,\quad k=1,2,\ldots }$

и внутренняя мера Жордана

${\displaystyle m_{i}E=\sup \sum _{j=1}^{k}m\Delta _{j},\quad E\supset \Delta _{j}}$,

где ${\displaystyle \Delta _{j}}$ попарно не пересекаются [здесь ${\displaystyle \Delta _{j}}$ – параллелепипеды вида (*)]. Множество ${\displaystyle E}$ называется измеримым по Жордану (квадрируемым при ${\displaystyle n=2}$, кубируемым при ${\displaystyle n\geqslant 3}$), если ${\displaystyle m_{e}E=m_{i}E}$ или, что равносильно,

${\displaystyle m_{e}E+m_{e}(\Delta \setminus E)=m\Delta }$,

где ${\displaystyle \Delta \supset E}$. В этом случае мера Жордана равна ${\displaystyle mE=m_{e}E=m_{i}E}$. Ограниченное множество ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет меру Лебега нуль).

Приведённое понятие меры ввели Дж. Пеано (Peano. 1887) и К. Жордан (Jordan. 1892). Внешняя мера Жордана одна и та же для ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle {\overline {E}}}$ (замыкания множества ${\displaystyle E}$) и равна мере Бореля ${\displaystyle {\overline {E}}}$. Измеримые по Жордану множества образуют кольцо множеств, на котором мера Жордана – конечно-аддитивная функция. См. также Квадрируемость.