Матрицы Дирака

Ма́трицы Дира́ка (гамма-матрицы), четыре эрмитовы матрицы ${\displaystyle a_{k},k=1,2,3}$, и ${\displaystyle b}$ размера ${\displaystyle 4\times 4}$, удовлетворяющие условиям

${\displaystyle \alpha _{k}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{k}=2\delta _{kj}E}$,

${\displaystyle \alpha _{k}\beta +\beta \alpha _{k}=0}$,

${\displaystyle \alpha _{k}\alpha _{k}=\beta ^{2}=E}$,

где ${\displaystyle \mathrm {E} }$ – единичная матрица размера ${\displaystyle 4\times 4}$. Вместо матриц ${\displaystyle a_{k},b}$ используются также эрмитовы матрицы ${\displaystyle \gamma ^{k}=-i\beta \alpha _{k},k=1,2,3}$, и антиэрмитова матрица ${\displaystyle \gamma ^{0}=i\beta }$, удовлетворяющие условиям

${\displaystyle \gamma ^{\varkappa }\gamma ^{\lambda }+\gamma ^{\lambda }\gamma ^{\varkappa }=-2g_{\varkappa \lambda }E,\;\;\;\;\;\;\;\;\varkappa ,\lambda =0,1,2,3}$,

где ${\displaystyle g_{00}=-g_{kk}=1,g^{\varkappa -ligxl=0\lambda }=0}$ при ${\displaystyle \varkappa \neq \lambda }$, что позволяет записать уравнение Дирака в форме, ковариантной относительно группы преобразований Лоренца. Матрицы ${\displaystyle \alpha _{k},\beta }$ и ${\displaystyle \gamma ^{\varkappa }}$ определены с точностью до произвольного унитарного преобразования, и представление этих матриц может быть выбрано различными способами. Например,

${\displaystyle \gamma ^{0}=-i{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}};\;\;\;\;\;\gamma ^{k}=-i{\begin{pmatrix}0&\sigma _{k}\\-\sigma _{k}&0\end{pmatrix}}}$,

где ${\displaystyle \sigma _{k}}$ – двухрядные матрицы Паули, а 1 и 0 – двухрядные единичная и нулевая матрицы соответственно. С помощью матриц Дирака можно факторизовать уравнение Клейна – Фока – Гордона:

${\displaystyle (\square -m^{2})E\psi =(\sum _{\varkappa =0}^{3}\gamma ^{\varkappa }{\frac {\partial }{\partial x^{\varkappa }}}-mE)(\sum _{\lambda =0}^{3}\gamma ^{\lambda }{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}}+mE)\psi =0}$,

где ${\displaystyle \square }$ – оператор Д'Аламбера. Введены П. Дираком в 1928 г. при выводе уравнения Дирака.