Класс Штифеля – Уитни

Класс Шти́феля – Уи́тни, характеристический класс со значениями в ${\displaystyle H^{*}(\;;\mathbb {Z} _{2})}$, определённый для действительных векторных расслоений. Классы Штифеля – Уитни обозначаются через ${\displaystyle w_{i}}$, ${\displaystyle i>0}$, и для действительного векторного расслоения ${\displaystyle \xi }$ над топологическим пространством ${\displaystyle B}$ класс ${\displaystyle w_{i}(\xi )}$ лежит в ${\displaystyle H^{i}\left(B;\mathbb {Z} _{2}\right)}$; введены Э. Штифелем (Stiefel. 1935^[1]) и X. Уитни (Whitneу. 1937^[2]); они обладают следующими свойствами. 1) Для двух действительных векторных расслоений ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \eta }$ над общей базой

${\displaystyle w_{k}(\xi \oplus \eta )=\sum _{i}w_{i}(\xi )w_{k-i}(\eta ),\quad w_{0}=1}$,

другими словами, ${\displaystyle w(\xi \oplus \eta )=w(\xi )w(\eta )}$, где ${\displaystyle w=1+w_{1}+w_{2}}$ – полный класс Штифеля – Уитни. 2) Для одномерного универсального расслоения ${\displaystyle \zeta _{1}}$ над ${\displaystyle \mid \mathbb {R} P^{\infty }}$ имеет место равенство ${\displaystyle w\left(\zeta _{1}\right)=1+y}$, где ${\displaystyle y}$ – ненулевой элемент группы ${\displaystyle H^{1}\left(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {Z} _{2}\right)=\mathbb {Z} _{2}}$. Этими двумя свойствами классы Штифеля – Уитни определяются однозначно. Классы Штифеля – Уитни стабильны, т. е. ${\displaystyle w(\xi \oplus \theta )=w(\xi )}$, где ${\displaystyle \theta }$ – тривиальное расслоение и ${\displaystyle w_{i}(\xi )=0}$ при ${\displaystyle i>\operatorname {dim} \xi }$. Для ориентированного векторного расслоения ${\displaystyle \xi }$ размерности ${\displaystyle n}$ над базой ${\displaystyle B}$ класс ${\displaystyle w_{n}(\xi )\in H^{n}\left(B;\mathbb {Z} _{2}\right)}$ совпадает с приведением по модулю 2 эйлерова класса.

Для векторного расслоения ${\displaystyle \xi }$ над ${\displaystyle B}$ пусть ${\displaystyle B^{\xi }}$ – пространство Тома этого расслоения. Далее, пусть ${\displaystyle \Phi :H^{*}\left(B;\mathbb {Z} _{2}\right)\longrightarrow {\tilde {H}}^{*+n}\left(B^{\xi };\mathbb {Z} _{2}\right)}$ – изоморфизм Тома. Тогда полный класс Штифеля – Уитни ${\displaystyle w(\xi )}$ совпадает с

${\displaystyle \Phi ^{-1}Sq\Phi (1)\in H^{*}\left(B;\mathbb {Z} _{2}\right)}$,

где ${\displaystyle Sq=1+Sq^{1}+Sq^{2}+\ldots }$ – полный квадрат Стинрода. Это свойство класса Штифеля – Уитни можно использовать в качестве их определения. Классы Штифеля – Уитни гомотопически инвариантны в том смысле, что они совпадают для послойно-гомотопически эквивалентных расслоений над общей базой.

Любой характеристический класс со значениями в ${\displaystyle H^{*}\left(;\mathbb {Z} _{2}\right)}$, определённый для действительных векторных расслоений, выражается через класс Штифеля – Уитни: кольца ${\displaystyle H^{**}\left(BO_{n};\mathbb {Z} _{2}\right)}$ и ${\displaystyle H^{**}\left(BO;\mathbb {Z} _{2}\right)}$ являются кольцами формальных степенных рядов от класса Штифеля – Уитни:

${\displaystyle H^{**}\left(BO_{n};\mathbb {Z} _{2}\right)=\mathbb {Z} _{2}\left[\left[w_{1},\ldots ,w_{n}\right]\right],\mathbb {H} ^{**}\left(BO;\mathbb {Z} _{2}\right)=\mathbb {Z} _{2}\left[\left[w_{1},\ldots ,\right]\right].}$