Изоморфизм Тома

Изоморфи́зм То́ма, изоморфизм между (обобщёнными) (ко)гомологиями базы векторного (сферического) расслоения ${\displaystyle \xi }$ и (ко)гомологиями его пространства Тома ${\displaystyle T(\xi )}$.

Пусть ${\displaystyle n}$-мерное векторное расслоение ${\displaystyle \xi }$ над конечным клеточным пространством ${\displaystyle X}$ ориентируемо в некоторой мультипликативной обобщённой теории когомологий ${\displaystyle E^{*}}$, т. е. существует класс Тома ${\displaystyle u\in {\tilde {E}}^{*}(T\xi )}$. Объект ${\displaystyle {\tilde {E}}^{*}(T\xi )}$ является ${\displaystyle E^{*}(X)}$-модулем, а гомоморфизм ${\displaystyle \varphi :E^{i}(X)\to {\tilde {E}}^{i+n}(T\xi )}$ умножения на класс Тома является изоморфизмом, который и называется изоморфизмом Тома (или изоморфизмом Тома – Дольда).

Двойственным образом определяется изоморфизм ${\displaystyle E_{i}(X)\to {\tilde {E}}_{i+n}(T\xi )}$.

В случае когда ${\displaystyle E^{*}}$ есть классическая теория когомологий ${\displaystyle H^{*}}$, эти изоморфизмы указаны Р. Томом (Thom. 1958^[1]), а для произвольной теории ${\displaystyle E^{*}}$ они установлены А. Дольдом (Дольд. 1965^[2]). Кроме того, если ${\displaystyle \xi }$ не является ориентируемым в целочисленной теории когомологий ${\displaystyle H^{*}}$, то имеет место изоморфизм ${\displaystyle H^{k}(X)\cong H^{k+n}(T\xi ;\{\mathbb {Z} \})}$, где справа стоит группа когомологий с коэффициентами в локальной системе групп ${\displaystyle \left\{\mathbb {Z} \right\}}$. Более общо: если ${\displaystyle \xi }$ неориентируемо в теории когомологий ${\displaystyle E^{*}}$, то имеется изоморфизм, обобщающий как вышеописанный изоморфизм Тома, так и изоморфизм Тома – Дольда для ${\displaystyle E^{*}}$-ориентированных расслоений (Рудяк. 1980^[3]).