Квадратурные формулы

Квадрату́рные фо́рмулы, формулы приближённого вычисления определённого интеграла от функции ${\displaystyle f(x)}$ по её значениям в конечном числе точек. Погрешность вычисления интегралов по квадратурным формулам зависит от гладкости функции ${\displaystyle f(x)}$. Обычно квадратурные формулы имеют вид

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx p_{1}f(x_{1})+\ldots +p_{n}f(x_{n}),}$

где ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ – точки отрезка ${\displaystyle [a,b]}$, их называют узлами квадратурных формул, а ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ – числа, их называют коэффициентами (или весами) квадратурных формул. Часто отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ разбивают на конечное число отрезков, на каждом из которых используют какую-либо простую квадратурную формулу. Простейшими квадратурными формулами являются формула прямоугольников

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\int f(x)dx\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}$

и формула трапеций

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{a}}(f(a)+f(b))}$;

они дают точное значение интеграла для линейных функций. Формула Симпсона

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}$

даёт точное значение интеграла для многочленов 3-й степени.

Для приближённого вычисления кратных интегралов используются аналогичные формулы, которые называют кубатурными.

Для вычисления, в первую очередь кратных интегралов, используют также формулы со случайным выбором узлов и коэффициентов (см. Метод Монте-Карло).