Категория множества

Катего́рия мно́жества, топологическая характеристика «массивности» множества. Множество ${\displaystyle E}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется множеством первой категории на ${\displaystyle X}$, если оно представимо в виде конечной или счётной суммы множеств, нигде не плотных на ${\displaystyle X}$. В противном случае ${\displaystyle E}$ называется множеством второй категории. Иногда множеством второй категории называется также дополнение в ${\displaystyle X}$ к множеству первой категории. В современной литературе (Окстоби. 1974^[1]) иногда (в случае пространства Бэра) такие множества называются резидуальными или остаточными. Непустое замкнутое числовое множество, в частности отрезок, не является множеством первой категории на самом себе (Бэр. 1932). Имеется обобщение этого результата на случай любого полного метрического пространства. Это обобщение имеет большое применение в анализе. Роль множества первой категории в топологии аналогична роли множества меры нуль в теории меры. Однако множество первой категории может быть множеством полной меры, а среди множеств меры нуль имеются множества второй категории.