Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяцио́нная фо́рмула Лагра́нжа, форма записи многочлена степени ${\displaystyle n}$ (интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию ${\displaystyle f(x)}$ в узлах ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$:

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f\left(x_{i}\right)\prod _{j\neq i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}}$ (1).

В случае, когда значения ${\displaystyle x_{i}}$ являются равноотстоящими, т. е. ${\displaystyle x_{1}-x_{0}=x_{2}-x_{1}=\ldots =x_{n}-x_{n-1}=h}$, с помощью обозначений ${\displaystyle \left(x-x_{0}\right)/h=t}$ формула ${\displaystyle (1)}$ может быть приведена к виду

${\displaystyle L_{n}(x)=L_{n}\left(x_{0}+th\right)=(-1)^{n}{\frac {t(t-1)\ldots (t-n)}{n!}}\times \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}C_{n}^{i}{\frac {f\left(x_{i}\right)}{t-i}}}$ (2).

В выражении ${\displaystyle (2)}$, называемом интерполяционной формулой Лагранжа для равноотстоящих узлов, коэффициенты, стоящие перед ${\displaystyle f\left(x_{i}\right)}$:

${\displaystyle (-1)^{n-i}C_{n}{\frac {t(t-1)\ldots (t-n)}{(t-i)n!}},}$

называются коэффициентами Лагранжа.

Если функция ${\displaystyle f}$ имеет производную порядка ${\displaystyle n+1}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, все узлы интерполяции лежат на этом отрезке и для любой точки ${\displaystyle x\in [a,b]}$:

${\displaystyle \alpha _{x}=\min \left\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n},x\right\},\quad \beta _{x}=\max \left\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n},x\right\},}$

то существует такая точка ${\displaystyle \xi \in \left[\alpha _{x},\beta _{x}\right]}$, что

${\displaystyle f(x)-L_{n}(x)=f^{(n+1)}(\xi ){\frac {\omega _{n}(x)}{(n+1)!}},}$

где

${\displaystyle \omega _{n}(x)=\prod _{j=0}^{n}\left(x-x_{j}\right)}$.

Если абсолютная величина производной ${\displaystyle f^{(n+1)}}$ ограничена на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ постоянной ${\displaystyle M}$ и если в качестве узлов интерполяции выбраны точки, в которые перейдут корни многочлена Чебышёва степени ${\displaystyle n+1}$ при линейном отображении отрезка ${\displaystyle [-1,1]}$ на отрезок ${\displaystyle [a,b]}$, то для любого ${\displaystyle x\in [a,b]}$ справедливо неравенство

${\displaystyle \left|f(x)-L_{n}(x)\right|\leqslant M(b-a)^{n+1}/(n+1)!2^{2n+1}}$.

Если узлы интерполяции – комплексные числа ${\displaystyle z_{0}}$, ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ и лежат в некоторой области ${\displaystyle G}$, ограниченной кусочно-гладким контуром ${\displaystyle \gamma }$, а функция ${\displaystyle f}$ является однозначной аналитической функцией в замыкании области ${\displaystyle G}$, то интерполяционная формула Лагранжа имеет вид

${\displaystyle L_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {\omega (\zeta )-\omega (z)}{\omega (\zeta )(\zeta -z)}}f(\zeta )d\zeta ,}$

причём

${\displaystyle f(z)-L_{n}(z)={\frac {\omega (z)}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(\zeta )}{\omega (\zeta )(z-\zeta )}}d\zeta }$.

Интерполяционной формулой Лагранжа для интерполирования с помощью тригонометрических полиномов называется формула

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}\prod _{j\neq k}{\frac {\sin(x-xj)/2}{\sin \left(x_{k}-x_{j}\right)/2}},}$

дающая тригонометрический полином порядка ${\displaystyle n}$, принимающий в заданных узлах ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ данные значения ${\displaystyle y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}}$.

Формула предложена Ж.-Л. Лагранжем (1795).