Золотое сечение

Золото́е сече́ние (гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении), деление отрезка ${\displaystyle a}$, при котором бо́льшая часть ${\displaystyle x}$ является средней пропорциональной между всем отрезком ${\displaystyle a}$ и меньшей его частью ${\displaystyle a-x}$, т. е.

${\displaystyle a:x=x:(a-x)}$ (*).

Для нахождения ${\displaystyle x}$ получается квадратное уравнение

${\displaystyle x^{2}+ax-a^{2}=0}$,

решение которого даёт

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\approx 0{,}62a}$.

Условие (*) можно переписать и так:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}\left(1+{\frac {x}{a}}\right)=1\quad {\text{или}}\quad x={\cfrac {a}{1+{\cfrac {x}{a}}}}}$
${\displaystyle x=a\,{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ldots ,}}}}}}}}}$

т. е. ${\displaystyle x}$ получают в виде непрерывной дроби, подходящие дроби которой будут:

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {2}{3}},\ {\frac {3}{5}},\ {\frac {5}{8}},\ {\frac {8}{13}},\ {\frac {13}{21}}\ {\text{ и т. д.,}}}$

где ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21}$ и т. д. – т. н. числа Фибоначчи.

Геометрически золотое сечение отрезка ${\displaystyle AB}$ (см. рисунок) строится так: в точке ${\displaystyle B}$ восстанавливают перпендикуляр к ${\displaystyle AB}$, откладывают на нём отрезок ${\displaystyle BE={\frac {1}{2}}AB}$, соединяют ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle E}$, откладывают ${\displaystyle ED=EB}$ и, наконец, ${\displaystyle AC=AD}$, тогда

${\displaystyle AB:AC=AC:CB}$.

Золотое сечение было известно ещё в древности. В дошедшей до нас античной литературе оно впервые встречается в «Началах» Евклида.

Термин «золотое сечение» ввёл Леонардо да Винчи. Принципы золотого сечения или близкие ему пропорциональные отношения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства (главным образом произведений архитектуры Античности и Возрождения).