Декомпозиция дисперсии ошибки прогноза

Рассмотрим модель векторной авторегрессии VARX${\displaystyle (1)}$ в которой ${\displaystyle n}$ эндогенных переменных и ${\displaystyle m}$ экзогенных переменных:

${\displaystyle y_{t}=Ay_{t-1}+Bx_{t}+\varepsilon _{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{array}}\\\vdots \end{array}}\\y_{n,t}\end{array}}\right),\,A=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}a_{11}\,\cdots \,a_{1n}\\\vdots \,\,\ddots \,\,\vdots \,\end{array}}\\a_{n1}\,\cdots \,a_{nn}\end{array}}\right),\,B=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}b_{11}\,\cdots \,b_{1m}\\\vdots \,\,\ddots \,\,\vdots \,\end{array}}\\b_{n1}\,\cdots \,b_{nm}\end{array}}\right),\\x_{t}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}x_{1,t}\\x_{2,t}\end{array}}\\\vdots \end{array}}\\x_{m,t}\end{array}}\right),\,\varepsilon _{t}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\varepsilon _{1,t}\\\varepsilon _{2,t}\end{array}}\\\vdots \end{array}}\\\varepsilon _{n,t}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$,

где ${\displaystyle y_{t}}$ – вектор эндогенных переменных в период ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x_{t}}$ – вектор экзогенных переменных (куда входит константа), ${\displaystyle A}$ – матрица коэффициентов перед лагом эндогенных переменных, ${\displaystyle B}$ – матрица коэффициентов перед экзогенными переменными, ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ – ошибки.

Подставим вместо ${\displaystyle y_{t-1}}$ записанное ранее равенство:

${\displaystyle y_{t}=A(Ay_{t-2}+Bx_{t-1}+\varepsilon _{t-1})+Bx_{t}+\varepsilon _{t}=A^{2}y_{t-2}+Bx_{t}+ABx_{t-1}+\varepsilon _{t}+A\varepsilon _{t-1}}$.

Продолжая рекурсивную запись, получим:

${\displaystyle y_{t}=A^{t}y_{0}+\sum _{i=0}^{t-1}A^{i}Bx_{t-i}+\sum _{i=0}^{t-1}A^{i}\varepsilon _{t-i}}$.

Для работы со структурными (некоррелированными) шоками ошибки представимы в виде ${\displaystyle \varepsilon _{t}=A_{0}^{-1}u_{t}}$, где ${\displaystyle A_{0}}$ – структурная матрица размерностью ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle u_{t}}$ – фундаментальные шоки. Переход к фундаментальным шокам осуществляется за счёт умножения структурной матрицы на ошибки ${\displaystyle u_{t}=A_{0}\epsilon _{t}}$. Матрицы ${\displaystyle A^{i}}$ являются не чем иным, как матрицами импульсных откликов ${\displaystyle {\text{Ф}}_{i}=A^{i}}$ на горизонте ${\displaystyle i}$. Тогда можно переписать:

${\displaystyle A^{i}\varepsilon _{t-i}={\text{Ф}}_{i}A_{0}^{-1}u_{t-i}={\text{Ф}}_{i}^{s}u_{t-i}}$,

где ${\displaystyle {\text{Ф}}_{i}^{s}}$ – матрица структурных импульсных откликов (иными словами, матрица реакций на структурные шоки эндогенных переменных на горизонте ${\displaystyle i}$). Введённые обозначения позволяют представить ${\displaystyle y_{t}}$ в виде:

${\displaystyle y_{t}=A^{t}y_{0}+\sum _{i=0}^{t-1}A^{i}Bx_{t-i}+\sum _{i=0}^{t-1}\Phi _{i}^{s}u_{t-i}}$.

Тогда на любом горизонте ${\displaystyle h=1,2,...,H}$ в момент времени ${\displaystyle t}$: 

${\displaystyle y_{t+h}=A^{t+h}y_{0}+\sum _{i=0}^{t-1+h}A^{i}Bx_{t-i+h}+\sum _{i=0}^{t-1+h}\Phi _{i}^{s}u_{t-i+h}=A^{t+h}y_{0}+\sum _{i=0}^{t-1+h}A^{i}Bx_{t-i+h}+\sum _{i=0}^{h-1}\Phi _{i}^{s}u_{t-i+h}+\sum _{i=h}^{t-1+h}\Phi _{i}^{s}u_{t-i+h}}$.

Компонента ${\displaystyle \sum _{i=0}^{t-1+h}\Phi _{i}^{s}u_{t-i+h}}$ раскладывается на две части: ${\displaystyle \sum _{i=h}^{t-1+h}\Phi _{i}^{s}u_{t-i+h}}$, известную на момент времени ${\displaystyle t}$, и неизвестную компоненту ${\displaystyle \sum _{i=0}^{h-1}\Phi _{i}^{s}u_{t-i+h}}$ (поскольку случайные шоки с момента времени ${\displaystyle t+1}$ по ${\displaystyle t+h}$ в момент времени t ещё не возникли). В связи с тем, что экзогенные факторы воспринимаются как заданные (на них не накладывается динамическая/случайная структура), то их математическое ожидание будет равно фактическому значению. Данное положение также касается начальных условий и произошедших к моменту времени ${\displaystyle t}$ шоков.

Математическое ожидание будущих шоков в VAR-модели по определению равняется нулю. Тогда ошибка прогноза записывается следующим образом:

${\displaystyle y_{t+h}-E\left(y_{t+h\mid t}\right)=\sum _{i=0}^{h-1}\Phi _{i}^{s}u_{t-i+h}}$.

Без потери общности можно предположить, что дисперсии структурных шоков равны единице, поскольку это результат нормировки:

${\displaystyle D(u_{i,t})=\sigma _{u_{i}}^{2}=1\ \forall i,t}$.

Ошибка прогноза для ${\displaystyle z}$-й эндогенной переменной представима в виде:

${\displaystyle y_{z,t+h}-E\left(y_{z,t+h\mid t}\right)=\sum _{i=0}^{h-1}\sum _{j=1}^{n}\phi _{zj,i}^{s}u_{j,t-i+h}=\sum _{i=0}^{h-1}\phi _{z1,i}^{s}u_{1,t-i+h}+\dots +\sum _{i=0}^{h-1}\phi _{zn,i}^{s}u_{n,t-i+h}}$,

где ${\displaystyle {\text{ф}}_{zj,i}^{s}}$ – элемент ${\displaystyle z}$-й строки, ${\displaystyle j}$-го столбца оценённой матрицы ${\displaystyle {\widehat {\text{Ф}}}_{i}^{s}}$. Далее рассчитывается дисперсия уравнений с обеих сторон. С учётом того, что структурные шоки не коррелированы между собой, получается выражение декомпозиции дисперсии ошибки прогноза для ${\displaystyle z}$-й эндогенной переменной на горизонте ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle \sigma _{y_{z},h}^{2}=\sigma _{u_{1}}^{2}\sum _{i=0}^{h-1}({\text{ф}}_{z1,i}^{s})^{2}+...+\sigma _{u_{n}}^{2}\sum _{i=0}^{h-1}({\text{ф}}_{zn,i}^{s})^{2}}$.

При нормировке дисперсий структурных шоков к единице выражение упрощается:

${\displaystyle \sigma _{y_{z},h}^{2}=\sum _{i=0}^{h-1}({\text{ф}}_{z1,i}^{s})^{2}+...+\sum _{i=0}^{h-1}({\text{ф}}_{zn,i}^{s})^{2}}$.

От данной записи можно перейти к записи с точки зрения вкладов, объясняемых шоками переменных, используемых в VAR-модели. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на ${\displaystyle \sigma _{y_{z},h}^{2}}$:

${\displaystyle 1={\frac {\sigma _{u_{1}}^{2}}{\sigma _{y_{z},h}^{2}}}\sum _{i=0}^{h-1}({\text{ф}}_{z1,i}^{s})^{2}+...+{\frac {\sigma _{u_{n}}^{2}}{\sigma _{y_{z},h}^{2}}}\sum _{i=0}^{h-1}({\text{ф}}_{zn,i}^{s})^{2}}$.

Соответственно, доля дисперсии ошибки прогноза ${\displaystyle z}$-й эндогенной переменной на горизонте ${\displaystyle h}$, объясняемая шоком ${\displaystyle j}$-й переменной, составляет:

${\displaystyle {\frac {\sigma _{u_{j}}^{2}}{\sigma _{y_{z},h}^{2}}}\sum _{i=0}^{h-1}({\text{ф}}_{zj,i}^{s})^{2}}$.

Аналогично декомпозицию можно получить и для модели векторной авторегрессии порядка ${\displaystyle p}$(VARX${\displaystyle (p)}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t}=\sum _{i=1}^{p}A_{i}y_{t-i}+Bx_{t}+\varepsilon _{t}\\A_{i}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}a_{11,i}\,\cdots \,a_{1n,i}\\\vdots \,\,\ddots \,\,\vdots \end{array}}\\a_{n1,i}\,\cdots \,a_{nn,i}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$,

где ${\displaystyle A_{i}}$ – матрицы коэффициентов перед лагами глубины ${\displaystyle i}$ эндогенных переменных.

Для этого можно воспользоваться формулами:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{i}^{s}&=\sum _{j=1}^{p}A_{j}\Phi _{i-j}^{s}\\\Phi _{0}^{s}&=A_{0}^{-1}\end{aligned}}}$

или представить модель VAR${\displaystyle (p)}$ в виде модели VARX(1):

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{t}=\Lambda Y_{t-1}+\Gamma X_{t}+E_{t}\\Y_{t}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}y_{t}\\y_{t-1}\end{array}}\\y_{t-2}\end{array}}\\\vdots \end{array}}\\y_{t-p+1}\end{array}}\right),\,\Lambda =\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}A_{1}\,A_{2}\,\cdots \,A_{p-1}\,A_{p}\\I_{n}\,\,\,\,0\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,0\,\,\,\,0\end{array}}\\0\,\,\,\,I_{n}\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,0\,\,\,\,0\end{array}}\\\vdots \,\,\,\,\vdots \,\,\,\,\ddots \,\,\,\,\vdots \,\,\,\,\vdots \end{array}}\\0\,\,\,\,0\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,I_{n}\,\,\,\,0\end{array}}\right),\,\\Y_{t-1}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{array}}\\y_{t-3}\end{array}}\\\vdots \end{array}}\\y_{t-p}\end{array}}\right),\,\Gamma =\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}B\,0\,\cdots \,0\,0\\0\,0\,\cdots \,0\,0\end{array}}\\0\,0\,\cdots \,0\,0\end{array}}\\\vdots \,\,\vdots \,\,\ddots \,\,\vdots \,\,\vdots \end{array}}\\\ 0\,0\,\cdots \,0\,0\end{array}}\right),X_{t}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}x_{t}\\0\end{array}}\\0\end{array}}\\\vdots \end{array}}\\0\end{array}}\right),\\E_{t}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\varepsilon _{t}\\0\end{array}}\\0\end{array}}\\\vdots \end{array}}\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}A_{0}^{-1}\,0\,\cdots \,0\,0\\0\,\,I_{n}\,\,\cdots \,\,0\,0\end{array}}\\0\,\,0\,\,\,\,\cdots \,\,0\,0\end{array}}\\\vdots \,\,\vdots \,\,\ddots \,\,\vdots \,\,\vdots \end{array}}\\0\,\,0\,\cdots \,\,\,\,0\,I_{n}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}u_{t}\\0\end{array}}\\0\end{array}}\\\vdots \end{array}}\\0\end{array}}\right)\end{aligned}}}$.

На экзогенные переменные также можно наложить определённую структуру. Рассмотрим в качестве примера модель векторной авторегрессии с ${\displaystyle p}$ лагами, ${\displaystyle n}$ эндогенными переменными ${\displaystyle y_{t}}$ и ${\displaystyle q}$ лагами ${\displaystyle m}$ экзогенных переменных ${\displaystyle x_{t}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t}=C_{y}+\sum _{i=1}^{p}A_{i}y_{t-i}+\sum _{i=0}^{q}B_{i}x_{t-i}+\varepsilon _{t}\mathbb {C} _{y}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}c_{y1}\\c_{y2}\end{array}}\\{\begin{array}{c}\vdots \\c_{yn}\end{array}}\end{array}}\right),\;A_{i}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}a_{11,i}\,\cdots \,a_{1n,i}\\\vdots \,\,\,\cdots \,\,\,\vdots \end{array}}\\a_{n1,i}\,\cdots \,a_{nn,i}\end{array}}\right),B_{i}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}b_{11,i}\,\cdots \,b_{1m,i}\\\vdots \,\,\,\cdots \,\,\,\vdots \end{array}}\\b_{n1,i}\,\cdots \,b_{nm,i}\end{array}}\right),\\\varepsilon _{t}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\varepsilon _{1,t}\\\varepsilon _{2,t}\end{array}}\\{\begin{array}{c}\vdots \\\varepsilon _{n,t}\end{array}}\end{array}}\right)=A_{0}^{-1}u_{t}=A_{0}^{-1}\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}u_{1,t}\\u_{2,t}\end{array}}\\{\begin{array}{c}\vdots \\u_{n,t}\end{array}}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$,

где ${\displaystyle C_{y}}$ – матрица констант, ${\displaystyle A_{i}}$ – матрицы коэффициентов перед лагами глубины ${\displaystyle i}$ эндогенных переменных, ${\displaystyle B_{i}}$ – матрицы коэффициентов перед лагами глубины ${\displaystyle i}$ экзогенных переменных, ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ – вектор ошибок в период ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle A_{0}}$ – структурная матрица размерностью ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle u_{t}}$ – вектор структурных шоков в модели для эндогенных переменных в период ${\displaystyle t}$. При этом экзогенные переменные ${\displaystyle x_{t}}$ меняются в соответствии с моделью векторной авторегрессии с ${\displaystyle w}$ лагами:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{t}=C_{x}+\sum _{i=1}^{w}Z_{i}x_{t-i}+\xi _{t}\\C_{x}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}c_{x1}\\c_{x2}\end{array}}\\{\begin{array}{c}\vdots \\c_{xn}\end{array}}\end{array}}\right),\ Z_{i}=\left({\begin{array}{c}z_{11,i}\ \cdots \ z_{1m,i}\\\vdots \ \ \ \ddots \ \ \ \vdots \\z_{m1,i}\ \cdots \ z_{mm,i}\end{array}}\right),\ \\\xi _{t}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\xi _{1,t}\\\xi _{2,t}\end{array}}\\{\begin{array}{c}\vdots \\\xi _{m,t}\end{array}}\end{array}}\right)=Z_{0}^{-1}\mu _{t}=Z_{0}^{-1}\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\mu _{1,t}\\\mu _{2,t}\end{array}}\\{\begin{array}{c}\vdots \\\mu _{m,t}\end{array}}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$,

где ${\displaystyle C_{x}}$ – матрица констант, ${\displaystyle Z_{i}}$ – матрицы коэффициентов перед лагами глубины ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \xi _{t}}$ – вектор ошибок в период ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle Z_{0}}$ – структурная матрица размерностью ${\displaystyle m\times m}$, ${\displaystyle \mu _{t}}$ – вектор структурных шоков в модели для экзогенных переменных в период ${\displaystyle t}$. Модель для экзогенных переменных можно встроить в VARX модель для переменных ${\displaystyle y}$, переписав её следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{t}=C+\sum _{i=1}^{\max(w,p,q)}G_{i}\gamma _{t-i}+\vartheta _{t}\,\gamma _{t}=\left[{\begin{array}{c}x_{t}\\y_{t}\end{array}}\right],\,C=\left[{\begin{array}{c}C_{x}\\C_{y}+B_{0}C_{x}\end{array}}\right],\,G_{i}=\left[{\begin{array}{c}Z_{i}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\B_{0}Z_{i}+B_{i}\,\,\,A_{i}\end{array}}\right],\\\vartheta _{t}=\left[{\begin{array}{c}\xi _{t}\\B_{0}\xi _{t}+\varepsilon _{t}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}Z_{0}^{-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\B_{0}Z_{0}^{-1}\,\,\,A_{0}^{-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}\mu _{t}\\u_{t}\end{array}}\right]\end{aligned}}}$,

где ${\displaystyle Z_{i}=0}$ для ${\displaystyle i>w,\ A_{i}=0}$ для ${\displaystyle i>p,\ B_{i}=0}$ для ${\displaystyle i>q}$. Соответственно, дальнейший алгоритм получения декомпозиции дисперсии ошибки прогноза аналогичен описанному ранее.

В работе Г. Йовичича (Jovičić. 2017) исследовались такие факторы ВВП и инфляции Хорватии, как сырьевые шоки, уровень глобальной деловой активности, внешние шоки со стороны еврозоны и внутренние шоки. На рисунке 1 представлена полученная авторами декомпозиция дисперсии ошибки прогноза ВВП Хорватии.

Примечание: поскольку модель оценивалась с помощью байесовских методов (BVAR модели), сумма вкладов шоков может не равняться единице.

В работе Д. А. Ломоносова и соавторов (^[2]) на основе байесовских моделей векторной авторегрессии российской экономики и нефтяного рынка анализировалась роль шоков деловой активности, шоков спроса на нефтяном рынке и шоков предложения нефти в России. На рисунке 2 представлена декомпозиция дисперсии ошибки прогноза основных макроэкономических переменных российской экономики, полученная в работе.