Двойственность конечных абелевых групп

Дво́йственность коне́чных а́белевых групп, классический прототип общей двойственности Понтрягина и различных более поздних её модификаций. Относится к свойствам изоморфного соответствия между конечной абелевой группой ${\displaystyle A}$ и группой ${\displaystyle {\hat {A}}=\operatorname {Hom} \left(A,k^{*}\right)}$ её характеров со значениями в мультипликативной группе ${\displaystyle k^{*}}$ алгебраически замкнутого поля ${\displaystyle k}$ характеристики, не делящей порядок группы ${\displaystyle A}$ (см. Группа характеров). Естественное отображение ${\displaystyle f:A\rightarrow {\hat {\!\!{\hat {A}}}}}$, определённое правилом

${\displaystyle f(a)(\chi )=\chi (a)}$

для всех ${\displaystyle a\in A}$, ${\displaystyle \chi \in {\hat {A}}}$, также является изоморфизмом, причём для любой подгруппы ${\displaystyle B\subseteq A}$ имеет место равенство ${\displaystyle f(B)=(B^{\perp })^{\perp }}$, где

${\displaystyle B^{\perp }=\{\chi \in {\hat {A}}\mid \chi (b)=1{\text{ для всех }}b\in B\}\cong {\widehat {A/B}}}$.

Соответствие ${\displaystyle B\rightarrow B^{\perp }}$ устанавливает двойственность между решётками подгрупп групп ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle {\widehat {A}}}$. Это соответствие взаимно однозначно и обладает свойствами

${\displaystyle (BC)^{\perp }=B^{\perp }\cap C^{\perp },\quad (B\cap C)^{\perp }=B^{\perp }C^{\perp }}$.