Грубая система

Гру́бая систе́ма (структурно устойчивая динамическая система), гладкая динамическая система, обладающая свойством: для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такое ${\displaystyle \delta >0}$, что при любом её возмущении, отстоящем от неё в ${\displaystyle C^{1}}$-метрике не более чем на ${\displaystyle \delta }$, существует гомеоморфизм фазового пространства, который сдвигает точки не более чем на ${\displaystyle \varepsilon }$ и переводит траектории невозмущённой системы в траектории возмущённой. Формально определение предполагает заданной некоторую риманову метрику на фазовом многообразии. Фактически о грубой системе обычно говорят либо когда фазовое многообразие замкнуто, либо когда траектории входят в некоторую компактную область ${\displaystyle G}$ с гладкой границей, не касаясь последней, причём возмущение и гомеоморфизм рассматривают только на ${\displaystyle G}$. Ввиду компактности выбор метрики не играет роли.

Таким образом, при малом (в смысле ${\displaystyle C^{1}}$) возмущении грубой системы получается система, эквивалентная исходной по всем своим топологическим свойствам (однако приведённое определение содержит ещё дополнительное требование, чтобы эта эквивалентность осуществлялась посредством гомеоморфизма, близкого к тождественному). Иногда термины «грубость» и «(структурная) устойчивость» употребляют в более широком смысле, например имея в виду только сохранение при малых возмущениях того или иного свойства системы (в этом случае лучше говорить о грубости данного свойства).

Грубые системы были введены А. А. Андроновым-старшим и Л. С. Понтрягиным (Андронов. 1937^[1]). При малой размерности фазового многообразия (единица для дискретного времени и единица или два для непрерывного) грубые системы допускают простую характеристику в терминах качественных свойств поведения траекторий (это т. н. системы Морса – Смейла) и образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех динамических систем, снабжённом ${\displaystyle C^{1}}$-топологией (см. Андронов. 1937; Peixoto. 1963); таким образом, системы с более сложным и более чувствительным к малым возмущениям поведением траекторий можно в этом случае рассматривать как исключительные. В бо́льших размерностях ни один из этих фактов не имеет места, как установил С. Смейл (Смейл. 1970). Он высказал гипотезу, что, несмотря на все эти усложнения, можно и в общем случае сформулировать необходимые и достаточные условия грубости в терминах качественной картины поведения траекторий, а именно: 1) неблуждающие точки должны образовывать гиперболическое множество ${\displaystyle Q}$, в котором всюду плотны периодические траектории (т. н. аксиома А Смейла); 2) устойчивое и неустойчивое многообразия любых двух траекторий из ${\displaystyle Q}$ должны пересекаться трансверсально (строгое условие трансверсальности). Достаточность этих условий доказана почти в полной общности, необходимость пока что (1970-е гг.) удаётся доказать лишь при некотором видоизменении определения грубости (см., например, Кушниренко. 1972^[2] или Нитецки. 1975^[3]).