Граничные задачи теории аналитических функций

Грани́чные зада́чи тео́рии аналити́ческих фу́нкций, задачи нахождения аналитической в некоторой области функции по заданному соотношению между граничными значениями её действительной и мнимой частей.

Впервые такая задача была поставлена Б. Риманом (B. Riemann, 1857). Д. Гильберт (D. Hilbert, 1912) исследовал граничную задачу в следующей постановке (задача Римана – Гильберта): найти функцию ${\displaystyle \Phi (z)=u+iv}$, аналитическую в односвязной области ${\displaystyle S^{+}}$ с контуром ${\displaystyle L}$, непрерывную в ${\displaystyle S^{+}\cup L}$, по граничному условию

${\displaystyle \operatorname {Re} (a+ib)\Phi =au-bv=c,}$ (1)

где ${\displaystyle a,b,c}$ – заданные на ${\displaystyle L}$ действительные непрерывные функции. Первоначально Д. Гильберт привел эту задачу к сингулярному интегральному уравнению с целью дать пример приложения такого уравнения.

Задача (1) может быть сведена к последовательному решению двух задач Дирихле. Полное исследование задачи, проведённое таким способом, имеется в статье И. Н. Векуа (Векуа. 1942).

Близкой к задаче (1) является задача, к которой пришёл А. Пуанкаре (H. Poincaré, 1912) при разработке математической теории приливов. Задача Пуанкаре состоит в определении гармонической в области ${\displaystyle S^{+}}$ функции ${\displaystyle u(x,y)}$ по условию на границе ${\displaystyle L}$ этой области:

${\displaystyle A(s){\frac {\partial u}{\partial n}}+B(s){\frac {\partial u}{\partial s}}+C(s)u=f(s),}$ (2)

где ${\displaystyle A(s),B(s),C(s),f(s)}$ – заданные на ${\displaystyle L}$ действительные функции, ${\displaystyle s}$ – дуговая абсцисса, ${\displaystyle n}$ – нормаль к ${\displaystyle L}$.

Под обобщённой задачей Римана – Гильберта – Пуанкаре понимается следующая линейная граничная задача: найти функцию ${\displaystyle \Phi (z)}$, аналитическую в ${\displaystyle S^{+}}$, по граничному условию

${\displaystyle \operatorname {Re} \{\lambda \Phi \}=f\left(t_{0}\right),\qquad t_{0}\in S+,}$ (3)

где ${\displaystyle \lambda }$ – интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой

${\displaystyle \lambda \Phi =\sum _{j=0}^{m}\left\{a_{j}\left(t_{0}\right)\Phi _{t}^{(j)}\left(t_{0}\right)+\int _{L}h_{j}\left(t_{0},t\right)\Phi ^{j}(t)\,ds\right\},}$ (4)

в которой ${\displaystyle a_{0}(t_{0}),\ldots ,a_{m}(t)}$ – заданные на ${\displaystyle L}$, вообще говоря, комплексные, функции класса ${\displaystyle H}$ (т. е. удовлетворяющие условию Гёльдера), ${\displaystyle f(t)}$ – заданная действительная функция класса ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle h_{j}(t_{0},t)}$ – заданные на ${\displaystyle L}$, вообще говоря, комплексные, функции вида

${\displaystyle h_{j}\left(t_{0},t\right)={\frac {h_{j}^{0}\left(t_{0},t\right)}{\left|t-t_{0}\right|^{\alpha }}},\qquad 0\leqslant \alpha <1}$,

причём ${\displaystyle h_{j}^{0}\left(t_{0},t\right)}$ – функции класса ${\displaystyle H}$ по обеим переменным. В правой части (4) под ${\displaystyle \Phi ^{j}\left(t_{0}\right)}$ подразумевается граничное значение на ${\displaystyle L}$ изнутри области ${\displaystyle S^{+}}$ производной ${\displaystyle j}$-ro порядка функции ${\displaystyle \Phi (z)}$.

Частным случаем задачи Римана – Гильберта – Пуанкаре при ${\displaystyle m=0}$, ${\displaystyle h_{j}\left(t_{0},t\right)=0}$ является задача Римана – Гильберта; задача Пуанкаре также является частным случаем сформулированной задачи. К задаче Римана – Гильберта – Пуанкаре приводятся многие важные граничные задачи, например граничные задачи для уравнений с частными производными эллиптического типа с двумя независимыми переменными.

Задача Римана – Гильберта – Пуанкаре была поставлена и в предположении, что ${\displaystyle a_{m}\left(t_{0}\right)\neq 0,t_{0}\in L}$, и решена И. Н. Векуа (1942).

В теории граничных задач важную роль играет понятие индекса задачи – целого числа, определяемого формулой

${\displaystyle \varkappa =2(m+n)}$,

где ${\displaystyle 2\pi n}$ – приращение ${\displaystyle \arg {\overline {a_{m}(t)}}}$ при однократном обходе контура ${\displaystyle L}$ в направлении, оставляющем область ${\displaystyle S^{+}}$ слева.

Задача Римана – Гильберта – Пуанкаре редуцируется к сингулярному интегральному уравнению вида

${\displaystyle N_{\mu }=A\left(t_{0}\right)\mu \left(t_{0}\right)+\int _{L}N\left(t_{0},t\right)\mu (t)\,ds=f\left(t_{0}\right)-c\sigma \left(t_{0}\right),}$ (5)

где ${\displaystyle \mu }$ – искомая действительная функция класса ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle c}$ – искомая действительная постоянная, а

${\displaystyle N\left(t_{0},t\right)={\frac {K\left(t_{0},t\right)}{t-t_{0}}}}$.

Функции ${\displaystyle A\left(t_{0}\right)}$, ${\displaystyle K\left(t_{0},t\right)}$, ${\displaystyle \sigma \left(t_{0}\right)}$ выражаются через ${\displaystyle a_{j}(t)}$ и ${\displaystyle h_{j}\left(t_{0+},t\right)}$, ${\displaystyle j=0,\ldots ,m}$.

Пусть ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle k^{\prime }}$ – числа линейно независимых решений соответствующего (5) однородного интегрального уравнения ${\displaystyle N\mu =0}$ и союзного с ним однородного интегрального уравнения

${\displaystyle N_{\nu }^{\prime }=A\left(t_{0}\right)\nu \left(t_{0}\right)+\int _{L}N\left(t,t_{0}\right)\nu (t)\,ds=0.}$ (6)

Числа ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle k^{\prime }}$ связаны с индексом ${\displaystyle \varkappa }$ задачи Римана – Гильберта – Пуанкаре равенством

${\displaystyle \varkappa =k-k^{\prime }}$.

Особый интерес представляет тот случай, когда задача разрешима при всякой правой части ${\displaystyle f\left(t_{0}\right)}$. Для того чтобы задача Римана – Гильберта – Пуанкаре была разрешима при любой правой части ${\displaystyle f\left(t_{0}\right)}$, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle k^{\prime }=0}$ или ${\displaystyle k^{\prime }=1}$, причём в последнем случае решение ${\displaystyle \nu (t)}$ уравнения (6) должно удовлетворять условию

${\displaystyle \int _{L}\nu (t)\sigma (t)\,ds\neq 0}$;

в обоих случаях ${\displaystyle \varkappa \geqslant 0}$ и однородная задача ${\displaystyle \operatorname {Re} \{\lambda \Phi \}=0}$ имеет ровно ${\displaystyle \varkappa +1}$ линейно независимых решений. При ${\displaystyle \sigma (t)=0}$ задача Римана – Гильберта – Пуанкаре разрешима при любой правой части тогда и только тогда, когда ${\displaystyle k^{\prime }=0}$.

В случае задачи Римана – Гильберта имеют место следующие утверждения: 1) при ${\displaystyle \varkappa \geqslant 0}$ неоднородная задача (1) разрешима при любой правой части и 2) при ${\displaystyle \varkappa <-2}$ эта задача разрешима тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{i\left({\frac {\varkappa }{2}}+k\right)\varphi }\Omega (\varphi )c(\varphi )\,d\varphi =0,\quad k=1,\ldots ,-\varkappa -1}$,

где

${\displaystyle \Omega (\varphi )={\frac {1}{\sqrt {a^{2}(\varphi )+b^{2}(\varphi )}}}\exp \left\{-{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }\theta (\varphi _{1})\operatorname {ctg} {\frac {\varphi _{1}-\varphi }{2}}\,d\varphi _{1}\right\},}$
${\displaystyle theta(t)=\arg \left[-t^{-\varkappa }{\frac {a-ib}{a+ib}}\right],\qquad a^{2}+b^{2}\neq 0.}$

Задача Римана – Гильберта тесно связана с т. н. задачей линейного сопряжения. Если ${\displaystyle L}$ – простая гладкая или кусочно-гладкая линия, состоящая из замкнутых контуров, ограничивающих некоторую область ${\displaystyle S^{+}}$ плоскости комплексного переменного ${\displaystyle z=x+iy}$, остающуюся слева при обходе ${\displaystyle L}$, то дополнение ${\displaystyle S^{+}\cup L}$ до плоскости ${\displaystyle z}$ обозначается через ${\displaystyle S^{-}}$. Пусть функция ${\displaystyle \Phi (z)}$ задана и непрерывна в окрестности линии ${\displaystyle L}$ всюду, кроме, быть может, самой ${\displaystyle L}$. Говорят, что функция ${\displaystyle \Phi (z)}$ непрерывно продолжима на точку ${\displaystyle t\in L}$ слева (или справа), если ${\displaystyle \Phi (z)}$ стремится к определённому пределу ${\displaystyle \Phi ^{+}(t)}$ [или ${\displaystyle \Phi ^{-}(t)}$], когда ${\displaystyle z}$ стремится к ${\displaystyle t}$ по любому пути, оставаясь слева (или справа) от ${\displaystyle L}$.

Функцию ${\displaystyle \Phi (z)}$ называют кусочно-аналитической с линией скачка ${\displaystyle L}$, если она аналитична в ${\displaystyle S^{+}}$ и ${\displaystyle S^{-}}$ и непрерывно продолжима на каждую точку ${\displaystyle t\in L}$ как слева, так и справа.

В задаче линейного сопряжения требуется определить кусочно-аналитическую функцию ${\displaystyle \Phi (z)}$ с линией скачка ${\displaystyle L}$, имеющую конечный порядок на бесконечности, по граничному условию

${\displaystyle \Phi ^{+}(t)=G(t)\Phi ^{-}(t)+g(t),\qquad t\in L_{+}}$,

где ${\displaystyle G(t)}$ и ${\displaystyle g(t)}$ – заданные на ${\displaystyle L}$ функции класса ${\displaystyle H}$. В предположении, что ${\displaystyle G(t)\neq 0}$ всюду на ${\displaystyle L}$, целое число

${\displaystyle \varkappa ={\frac {1}{2\pi }}[\arg G(t)]_{L}}$

называется индексом задачи линейного сопряжения.

Когда ${\displaystyle \Phi (z)=\left(\Phi _{1},\ldots ,\Phi _{n}\right)}$ – кусочно-аналитический вектор, ${\displaystyle G(t)}$ – квадратная (${\displaystyle n\times n}$)-матрица и ${\displaystyle g(t)=\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}$ – вектор, причём ${\displaystyle \operatorname {det} G(t)\neq 0}$, целое число

${\displaystyle \varkappa ={\frac {1}{2\pi }}[\arg \operatorname {det} G(t)]_{L}}$

называется суммарным индексом задачи линейного сопряжения. Понятия индекса и суммарного индекса играют важную роль в теории задачи линейного сопряжения (Хведелидзе. 1956; Гахов. 1963^[1]; Мусхелишвили. 1968^[2]; Векуа. 1970^[3]).

Ha базе теории задачи линейного сопряжения построена теория одномерных сингулярных интегральных уравнений вида (5).