Сингулярное интегральное уравнение

Сингуля́рное интегра́льное уравне́ние, интегральное уравнение с ядром, обращающимся в бесконечность в области интегрирования так, что соответствующий несобственный интеграл, содержащий неизвестную функцию, расходится и заменяется своим главным значением. Примером сингулярного интегрального уравнения может служить следующее уравнение с т. н. ядром Гильберта:

${\displaystyle \displaystyle a\phi (s)+{\frac {b}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\phi (t)\mathrm {ctg} {\frac {t-s}{2}}dt=f(s)}$,

решением которого является функция

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (s)={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}f(s)-{\frac {b}{2\pi (a^{2}+b^{2})}}\int _{0}^{2\pi }f(t)\mathrm {ctg} {\frac {t-s}{2}}dt+\\&\quad +{\frac {b^{2}}{2\pi a(a^{2}+b^{2})}}\int _{0}^{2\pi }f(t)dt,\quad a\neq 0,\,\,a^{2}+b^{2}\neq 0,\end{aligned}}}$

где первый интеграл также понимается в смысле главного значения.

К сингулярным интегральным уравнениям приводят многие задачи теории аналитических функций, теории упругости, гидродинамики. Сингулярные интегральные уравнения впервые (начало 20 в.) встретились в исследованиях А. Пуанкаре (по теории приливов) и Д. Гильберта (по краевым задачам).