Винтовая линия

Винтова́я ли́ния, пространственная кривая, описываемая точкой, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси. Винтовую линию называют также цилиндрической винтовой линией, т. к. она расположена на поверхности круглого цилиндра (рис. 1). Цилиндрическая винтовая линия задаётся параметрическими уравнениями ${\displaystyle x(t)=r\cos t}$, ${\displaystyle y(t)=r\sin t}$, ${\displaystyle z(t)=ht}$, где ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle y(t)}$, ${\displaystyle z(t)}$ – текущие координаты точки на винтовой линии, ${\displaystyle r}$ – радиус цилиндра, ${\displaystyle h}$ – положительная постоянная и ${\displaystyle t}$ – параметр, ${\displaystyle 0\leqslant t<\infty }$.

Коническая винтовая линия – линия на поверхности круглого конуса, пересекающая все образующие под одинаковым углом (рис. 2).

Коническая винтовая линия задаётся параметрическими уравнениями ${\displaystyle x(t)=re^{mt}\cos t}$, ${\displaystyle y(t)=re^{mt}\sin t}$, ${\displaystyle z(t)=r(1-e^{mt})\operatorname {ctg} \alpha }$, где ${\displaystyle x(t),y(t),z(t)}$ – текущие координаты точки на винтовой линии., ${\displaystyle \alpha }$ – угол между осью конуса и его образующей, ${\displaystyle r}$ – радиус окружности, являющейся основанием конуса, ${\displaystyle m=\sin \alpha /\operatorname {tg} \phi }$, ${\displaystyle \phi }$ – тупой угол между касательной к винтовой линии и образующей конуса, ${\displaystyle t}$ – параметр, ${\displaystyle 0\leqslant t<\infty }$.