Вектор Витта

Ве́ктор Ви́тта, элемент алгебраической конструкции, впервые предложенной Э. Виттом в 1936 г. (Witt. 1937) в связи с описанием неразветвлённых расширений полей ${\displaystyle p}$-адических чисел. Позже вектора Витта были применены при изучении алгебраических многообразий над полем положительной характеристики (^[1]), а также в теории коммутативных алгебраических групп (^[2]; ^[3]) и в теории формальных групп (Dieudonne. 1957). Пусть ${\displaystyle A}$ – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Векторами Витта с компонентами в ${\displaystyle A}$ называются бесконечные последовательности ${\displaystyle a=\left(a_{0},a_{1},\ldots \right)}$, ${\displaystyle a_{i}\in A}$, которые складываются и перемножаются по следующим правилам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a_{0},a_{1},\ldots \right)\dotplus \left(b_{0},b_{1},\ldots \right)=\left(S_{0}\left(a_{0},b_{0}\right),S_{1}\left(a_{0},a_{1};b_{0},b_{1}\right),\ldots \right){\text{, }}\\\left(a_{0},a_{1},\ldots \right){\overset {\cdot }{\times }}\left(b_{0},b_{1},\ldots \right)=\left(M_{0}\left(a_{0},b_{0}\right),M_{1}\left(a_{0},a_{1};b_{0},b_{1}\right),\ldots \right),\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle S_{n}}$, ${\displaystyle M_{n}}$ – многочлены от переменных ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{n}}$, ${\displaystyle Y_{0},\ldots ,Y_{n}}$ c целыми коэффициентами, однозначно определяемые условиями

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{n}\left(S_{0},\ldots ,S_{n}\right)=\Phi _{n}\left(X_{0},\ldots ,X_{n}\right)+\Phi _{n}\left(Y_{0},\ldots ,Y_{n}\right),\\\Phi _{n}\left(M_{0},\ldots ,M_{n}\right)=\Phi _{n}\left(X_{0},\ldots ,X_{n}\right)\cdot \Phi _{n}\left(Y_{0},\ldots ,Y_{n}\right);\end{aligned}}}$

здесь

${\displaystyle \Phi _{n}=Z_{0}^{p^{n}}+pZ_{1}^{p^{n-1}}+\ldots +p^{n}Z_{n}}$

– многочлены, ${\displaystyle n\in N}$, ${\displaystyle p}$ – простое число. В частности,

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}=X_{0}+Y_{0};\quad S_{1}=X_{1}+Y_{1}-\sum _{i=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}\left({\begin{array}{c}p\\i\end{array}}\right)X_{0}^{i}Y_{0}^{p-i};\\M_{0}=X_{0}Y_{0},\quad M_{1}=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}.\end{aligned}}}$

Вектор Витта c введёнными выше операциями образуют кольцо, называемое кольцом вектора Витта и обозначаемое ${\displaystyle W(A)}$. Для любого натурального ${\displaystyle n}$ определено также кольцо ${\displaystyle W_{n}(A)}$ усечённых векторов Витта длины ${\displaystyle n}$. Элементы этого кольца являются конечными наборами ${\displaystyle a=\left(a_{0},\ldots ,a_{n-1}\right)}$, ${\displaystyle a_{i}\in A}$, c операциями сложения и умножения, приведёнными выше. Канонические отображения:

${\displaystyle {\begin{aligned}R:W_{n+1}(A)&\longrightarrow W_{n}(A),&R\left(\left(a_{0},\ldots ,a_{n}\right)\right)=\left(a_{0},\ldots ,a_{n-1}\right),\\T:W_{n}(A)&\longrightarrow W_{n+1}(A),&T\left(\left(a_{0},\ldots ,a_{n-1}\right)\right)=\left(0,a_{0},\ldots ,a_{n-1}\right)\end{aligned}}}$

являются гомоморфизмами. Сопоставление ${\displaystyle A\rightarrow W(A)}$ [соответственно ${\displaystyle A\rightarrow W_{n}(A)}$] определяет ковариантный функтор из категории коммутативных колец с единицей в категорию колец. Этот функтор представим кольцом многочленов ${\displaystyle Z\left[X_{0},\ldots ,X_{n},\ldots \right]}$ (соответственно ${\displaystyle Z\left[X_{0},\ldots ,.\left.X_{n-1}\right]\right)}$, на котором определена структура кольцевого объекта. Спектр ${\displaystyle \operatorname {Spec} Z\left[X_{0},\ldots ,X_{n},\ldots \right]}$ (соответственно ${\displaystyle \operatorname {Spec} \left.Z\left[X_{0},\ldots X_{n-1}\right]\right)}$ называется схемой Витта (соответственно усечённой схемой Витта) и является кольцевой схемой (Мамфорд. 1968).

Каждый элемент ${\displaystyle a\in A}$ определяет вектор Витта

${\displaystyle a^{\tau }=(a,0,0,\ldots )r\in W(A)}$,

называемый представлением Тейхмюллера элемента ${\displaystyle a}$. Если ${\displaystyle A=k}$ – совершенное поле характеристики ${\displaystyle p>0}$, то ${\displaystyle W(k)}$ является полным кольцом дискретного нормирования характеристики нуль с полем вычетов ${\displaystyle k}$ и максимальным идеалом ${\displaystyle pW(k)}$. При этом каждый элемент ${\displaystyle \omega \in W(k)}$ однозначно записывается в виде

${\displaystyle \omega =\omega _{0}^{\tau }+p\omega _{1}^{\tau }+p^{2}\omega _{2}^{\tau }+\ldots }$,

где ${\displaystyle \omega _{i}\in k}$. Наоборот, каждое такое кольцо ${\displaystyle A}$ с полем вычетов ${\displaystyle k=A/p}$ канонически изоморфно кольцу ${\displaystyle W(k)}$. Представление Тейхмюллера позволяет построить канонический мультипликативный гомоморфизм ${\displaystyle k\rightarrow W(k)}$, расщепляющий отображение

${\displaystyle W(k)\longrightarrow W(k)/p\simeq k}$.

Если ${\displaystyle k=F_{p}}$ – простое поле из ${\displaystyle p}$ элементов, то ${\displaystyle W\left(F_{p}\right)}$ есть кольцо целых ${\displaystyle p}$-адических чисел ${\displaystyle Z_{p}}$.