Вариация отображения

Вариа́ция отображе́ния, числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами. Определена С. Банахом (Banach. 1925^[1]). Ниже даётся определение лишь для двумерного случая. Рассмотрим отображение

${\displaystyle \alpha \colon x=f(u,v),\ y=\varphi (u,v),}$

где ${\displaystyle f(u,v)}$ и ${\displaystyle \varphi (u,v)}$ – непрерывные на квадрате ${\displaystyle D_{0}=[0,1]\times [0,1]}$ функции. Говорят, что отображение ${\displaystyle \alpha }$ имеет ограниченную вариацию, если существует число ${\displaystyle M>0}$ такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов ${\displaystyle D^{i}\subset D_{0}}$ (${\displaystyle i=1,2,\ldots }$) со сторонами, параллельными осям координат ${\displaystyle u,v}$, справедливо неравенство

${\displaystyle \sum _{i}\mathop {\mathrm {mes} } D_{xy}^{i}\leqslant M,}$

где ${\displaystyle E_{xy}}$ обозначает образ множества ${\displaystyle E\subset D_{0}}$ при отображении ${\displaystyle \alpha }$, a ${\displaystyle \mathop {\mathrm {mes} } E}$ – плоскую меру Лебега множества ${\displaystyle E}$. При этом численное значение ${\displaystyle V(\alpha )}$ вариации отображения ${\displaystyle \alpha }$ может быть определено различными способами. Например, пусть отображение ${\displaystyle \alpha }$ имеет ограниченную вариацию. Тогда вариация ${\displaystyle V(\alpha )}$ может быть определена по формуле

${\displaystyle V(\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }N(s,t)\,ds\,dt,}$

где ${\displaystyle N(s,t)}$ – число решений системы ${\displaystyle f(u,v)=s}$, ${\displaystyle \varphi (u,v)=t}$ (индикатриса Банаха отображения).

Если отображение ${\displaystyle \alpha }$ имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на ${\displaystyle D_{0}}$ существует обобщённый якобиан ${\displaystyle J(P)}$ (${\displaystyle P\in D_{0}}$), который интегрируем на ${\displaystyle D_{0}}$. При этом

${\displaystyle J(P){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\mathop {\mathrm {mes} } K\to 0}{\frac {\mathop {\mathrm {mes} K_{xy}} }{\mathop {\mathrm {mes} K} }},}$

где ${\displaystyle K\subset D_{0}}$ – квадрат, содержащий точку ${\displaystyle P\in D_{0}}$, стороны которого параллельны осям ${\displaystyle u,v}$ (см. Кудрявцев. 1969^[2]).