Индикатриса Банаха

Индикатри́са Ба́наха (функция кратности) непрерывной функции ${\displaystyle y=f(x)}$, ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$, целочисленная функция ${\displaystyle N(y,f)}$, ${\displaystyle -\infty <y<\infty }$, равная числу корней уравнения ${\displaystyle f(x)=y}$. Если это уравнение при данном значении ${\displaystyle y}$ имеет бесконечное множество корней, то</y<\infty<></math>

${\displaystyle N(y,f)=+\infty }$,

а если оно не имеет корней, то

${\displaystyle N(y,f)=0}$.

Функция ${\displaystyle N(y,f)}$ была определена С. Банахом (Banach. 1925; см. также Натансон. 1974.^[1] С. 212–213). Он доказал, что для любой непрерывной на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функции ${\displaystyle f(x)}$ её индикатриса ${\displaystyle N(y,f)}$ есть функция не выше 2-го класса Бэра, причём

${\displaystyle \mathop {\text{ V}} \limits _{a}^{b}(f)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }N(y,f)\,dy}$ (*),

где ${\displaystyle \mathop {\text{ V}} \limits _{a}^{b}(f)}$ – вариация функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Таким образом, равенство (*) можно принять за определение вариации непрерывной функции ${\displaystyle f(x)}$. Индикатрису Банаха определяют [с сохранением равенства (*)] и для функций, имеющих разрывы 1-го рода (см. Лозинский. 1958). Понятие индикатрисы Банаха было использовано для определения вариаций функции нескольких переменных (см. Кронрод. 1950; Витушкин. 1955^[2]).