Безусловная суммируемость

Безусло́вная сумми́руемость, суммируемость ряда при любой перестановке его членов. Ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ (*)

называется безусловно суммируемым некоторым методом суммирования ${\displaystyle A}$ (безусловно ${\displaystyle A}$-суммируемым), если он суммируем этим методом к сумме ${\displaystyle s}$ при любой перестановке его членов, где ${\displaystyle s}$ может зависеть от перестановки. Начало исследований по безусловной суммируемости положено В. Орличем (Orlicz. 1927); в частности, он показал, что если ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}$, то из безусловной суммируемости ряда линейным регулярным методом следует его безусловная сходимость. Позднее было показано, что это условие можно заменить более слабым: ${\displaystyle \varliminf \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}$ (см. Ульянов. 1959). Безусловная суммируемость матричным методом не влечёт безусловной сходимости, по существу, для единственного ряда ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }1}$. Именно если ${\displaystyle A}$ – матричный регулярный метод суммирования и ряд (*) безусловно ${\displaystyle A}$-суммируем, то все члены ряда имеют вид ${\displaystyle a_{n}=c+\eta _{n}}$, где ${\displaystyle c}$ – постоянная, а ряд с членами ${\displaystyle \eta _{n}}$ абсолютно сходится: ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|\eta _{n}|<\infty }$; при этом ${\displaystyle c=0}$, если метод ${\displaystyle A}$ не суммирует ряда ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }1}$ (см. Гапошкин. 1958).

В случае функциональных рядов рассматривают безусловную суммируемость: по мере, всюду, почти всюду и т. п. Для безусловно суммируемых функциональных рядов почти всюду справедливо утверждение: если ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$ измеримых на множестве ${\displaystyle E}$ функций ${\displaystyle f_{n}(x)}$ безусловно ${\displaystyle A}$-суммируем почти всюду на ${\displaystyle E}$, то члены ряда имеют вид ${\displaystyle f_{n}(x)=f(x)+\eta _{n}(x)}$, где ${\displaystyle f(x)}$ – конечная измеримая на ${\displaystyle E}$ функция, а ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\eta _{n}(x)}$ безусловно сходится почти всюду на ${\displaystyle E}$; при этом ${\displaystyle f(x)=0}$, если метод ${\displaystyle A}$ не суммирует ряда ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }1}$ (см. Ульянов. 1959).