Аффинный тензор

Аффи́нный те́нзор, элемент тензорного произведения ${\displaystyle p}$ экземпляров ${\displaystyle n}$-мерного векторного пространства ${\displaystyle E_{n}}$ и ${\displaystyle q}$ экземпляров дуального ему векторного пространства ${\displaystyle E_{n}^{*}}$. Такой тензор называется тензором типа ${\displaystyle (p,\sim q)}$, а число ${\displaystyle p+q}$ определяет валентность тензора. После выбора в пространстве ${\displaystyle E_{n}}$ базиса ${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {e}}_{i}\right\}}$ аффинный тензор типа ${\displaystyle (p,\sim q)}$ определяется с помощью ${\displaystyle n^{p+q}}$ координат ${\displaystyle T_{j_{1}\ldots j_{q}}^{i_{1}\ldots i_{p}}}$, преобразующихся при замене базиса ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i^{\prime }}=A_{i^{\prime }}^{s}{\boldsymbol {e}}_{s}}$ по закону:

${\displaystyle T_{j_{1}^{\prime }\ldots j_{q}^{\prime }}^{i_{1}^{\prime }\ldots i_{p}^{\prime }}=A_{s_{1}^{\prime }}^{i_{1}^{\prime }}\ldots A_{s_{p}}^{i_{p}^{\prime }}A_{j_{1}^{\prime }}^{t_{1}}\ldots A_{j_{q}^{\prime }}^{t_{q}}T_{t_{1}\ldots t_{q}}^{s_{1}\ldots s_{p}}}$,

где ${\displaystyle A_{j^{\prime }}^{s}A_{s}^{i^{\prime }}=\delta _{j^{\prime }}^{i^{\prime }}}$. Принято говорить, что по верхним индексам координаты тензора преобразуются контравариантно, а по нижним – ковариантно.