Алгебраическая группа преобразований

Алгебраи́ческая гру́ппа преобразова́ний, алгебраическая группа ${\displaystyle G}$, действующая регулярно на алгебраическом многообразии ${\displaystyle V}$. Точнее, алгебраическая группа преобразований есть тройка ${\displaystyle (G,V,\tau )}$, где ${\displaystyle {\ce {\tau :G\times V->V\;(\tau (g,x)=gx)}}}$ – морфизм алгебраических многообразий, удовлетворяющий условиям: ${\displaystyle ex=x}$, ${\displaystyle g(hx)=(gh)x}$ для всех ${\displaystyle x\in V}$ и ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h\in G}$ (${\displaystyle e}$ – единица группы ${\displaystyle G}$). Если ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle \tau }$ определены над полем ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle (G,V,\tau )}$ называется алгебраической группой ${\displaystyle k}$-преобразований. Например, ${\displaystyle (G,G,\tau )}$, где ${\displaystyle \tau }$ – присоединённое действие или действие посредством сдвигов, является алгебраической группой преобразований. Если ${\displaystyle G}$ – алгебраическая подгруппа в ${\displaystyle GL(n)}$, ${\displaystyle \tau }$ – её естественное действие в аффинном пространстве ${\displaystyle V=k^{n}}$, то ${\displaystyle (G,V,\tau )}$ – алгебраическая группа преобразований. Для всякой точки ${\displaystyle x\in V}$ через ${\displaystyle G(x)=(gx\mid g\in G)}$ обозначается орбита точки ${\displaystyle x}$, а через ${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid gx=x\}}$ – стабилизатор точки ${\displaystyle x}$. Орбита ${\displaystyle G(x)}$ не обязательно замкнута в ${\displaystyle V}$, но всегда существуют замкнутые орбиты, например замкнутые орбиты минимальной размерности. Иногда под алгебраической группой преобразований понимается алгебраическая группа ${\displaystyle G}$, действующая рационально (но не обязательно регулярно) на алгебраическом многообразии ${\displaystyle V}$ (это значит, что ${\displaystyle {\ce {\tau :G\times V_{1}->V}}}$ – рациональное отображение, а выписанные выше свойства ${\displaystyle \tau }$ выполнены для общих точек). Как показал А. Вейль (A. Weil. 1955), всегда существует многообразие ${\displaystyle V^{1}}$, бирационально изоморфное ${\displaystyle V}$ и такое, что действие ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle V^{\mathbf {1} }}$, индуцированное рациональным действием ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle V}$, регулярно. Задачи описания орбит, стабилизаторов, полей инвариантных рациональных функций (см. Теория инвариантов) и построения фактормногообразий являются основными в теории алгебраических групп преобразований и имеют многочисленные применения.