Π-разрешимая группа

π-разреши́мая гру́ппа, обобщение понятия разрешимой группы. Пусть ${\displaystyle \pi }$ – некоторое множество простых чисел. Конечная группа, каждый индекс композиционного ряда которой либо не делится ни на одно число из ${\displaystyle \pi }$, либо совпадает с некоторым числом из ${\displaystyle \pi }$, называется ${\displaystyle \pi }$-разрешимой группой. Основные свойства ${\displaystyle \pi }$-разрешимых групп подобны свойствам разрешимых групп. ${\displaystyle \pi }$-разрешимая группа является ${\displaystyle \pi _{1}}$-разрешимой группой для любого ${\displaystyle \pi _{1}\subset \pi }$; подгруппы, факторгруппы и расширения ${\displaystyle \pi }$-разрешимой группы с помощью ${\displaystyle \pi }$-разрешимой группы также являются ${\displaystyle \pi }$-разрешимыми группами. В ${\displaystyle \pi }$-разрешимой группе ${\displaystyle G}$ каждая ${\displaystyle \pi }$-подгруппа (т. е. подгруппа, все простые делители порядка которой принадлежат ${\displaystyle \pi }$) содержится в некоторой холловской ${\displaystyle \pi }$-подгруппе (${\displaystyle \pi }$-подгруппа называется холловской, если её индекс в группе не делится ни на одно число из ${\displaystyle \pi }$), а каждая ${\displaystyle \pi '}$-подгруппа (где ${\displaystyle \pi '}$ – множество, дополняющее ${\displaystyle \pi }$ в множестве всех простых чисел) – в некоторой холловской ${\displaystyle \pi '}$-подгруппе; все холловские ${\displaystyle \pi }$-подгруппы, а также холловские ${\displaystyle \pi '}$-подгруппы сопряжены в ${\displaystyle G}$; индекс максимальной подгруппы группы ${\displaystyle G}$ либо не делится ни на одно число из ${\displaystyle \pi }$, либо равен степени одного из чисел множества ${\displaystyle \pi }$ (см. Чунихин. 1964^[1]). Число холловских ${\displaystyle \pi }$-подгрупп в ${\displaystyle G}$ равно ${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\ldots \alpha _{n}}$, где ${\displaystyle \alpha _{i}\equiv 1{\pmod {p_{i}}}}$ для каждого ${\displaystyle p_{i}\in \pi }$, делящего порядок группы ${\displaystyle G}$, причём ${\displaystyle \alpha _{i}}$ делит порядок одного из главных факторов группы ${\displaystyle G}$ (см. Brauer. 1968^[2]).