Индекс подгруппы

И́ндекс подгру́ппы в группе ${\displaystyle G}$, число смежных классов в каждом из разложений группы ${\displaystyle G}$ по этой подгруппе ${\displaystyle H}$ (в бесконечном случае – мощность множества этих классов). Если число смежных классов конечно, то ${\displaystyle H}$ называется подгруппой конечного индекса в ${\displaystyle G}$. Пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса само имеет конечный индекс (теорема Пуанкаре). Индекс подгруппы ${\displaystyle H}$ в группе ${\displaystyle G}$ обычно обозначается ${\displaystyle \mid G:H\mid }$. Произведение порядка подгруппы ${\displaystyle H}$ на её индекс ${\displaystyle \mid G:H\mid }$ равно порядку группы ${\displaystyle G}$ (теорема Лагранжа). Это соотношение имеет место как для конечной группы ${\displaystyle G}$, так и в случае бесконечной ${\displaystyle G}$ – для соответствующих мощностей.