Закры́тый элеме́нт симме́трии, геометрический образ закрытой операции симметрии, отображающей фигуру саму в себя при её повороте, отражении или их комбинации, которые при этом сохраняют расстояния между соответствующими точками симметричных частей фигуры и оставляют неподвижной хотя бы одну её точку. Закрытые элементы симметрии самосовмещаются при своём действии и характерны прежде всего для конечных фигур, но могут встречаться и в бесконечных. В трёхмерном евклидовом пространстве классические закрытые элементы симметрии представляют собой точку (центр симметрии или инверсии), прямую (поворотная, инверсионная и зеркально-поворотная оси) или плоскость (плоскость зеркального отражения). Названия и определения центра, оси и плоскости симметрии дал О. Браве в 1849 г., в 1867 г. А. В. Гадолиным введены инверсионные оси, а в 1884 г. П. Кюри выдвинул понятие зеркально-поворотной оси. Аналогично соответствующим операциям симметрии различают: 1) элементы симметрии I рода, которые связывают конгруэнтные (совместимые наложением) части симметричной фигуры, 2) элементы симметрии II рода, которые связывают энантиоморфные (зеркально-равные) части фигуры. К закрытым элементам симметрии I рода относятся только поворотные оси, остальные являются элементами симметрии II рода. Закрытые элементы симметрии конечной фигуры пересекаются в одной точке или по единственной прямой, являющейся поворотной осью, и составляют точечную группу симметрии фигуры. Порядок закрытого элемента симметрии равен порядку соответствующей операции симметрии и минимальному числу их последовательных действий, необходимых для перехода симметричной фигуры в исходное положение. Различают закрытые элементы симметрии низшего порядка (первого и второго) и высшего порядка (третьего и более). Первый порядок соответствует тождественному преобразованию фигуры самой в себя, второй порядок имеют центр симметрии, плоскость зеркального отражения и двойная поворотная ось, более высокие порядки могут быть только у поворотных, зеркально-поворотных и инверсионно-поворотных осей. Действие центра симметрии и зеркальной плоскости сводится к отражению в точке и плоскости соответственно, поворотная ось поворачивает фигуру на минимальный угол $\alpha$ = 360°/$n$, где $n$ – порядок оси, а для инверсионной и зеркально-поворотной осей поворот сопровождается соответственно инверсией в одной из точек оси или отражением в плоскости, перпендикулярной оси. Несмотря на различия, последние два вида осей сводятся друг к другу, т. к. зеркально-поворотная ось с элементарным углом $\alpha$ = 360°/n эквивалентна инверсионной оси с углом поворота 180° – $\alpha$. Примеры действия некоторых закрытых элементов симметрии приведены на рис. 1.

Рис. 1. Примеры действия закрытых элементов симметрии (их обозначения даны по Браве).Рис. 1. Примеры действия закрытых элементов симметрии (их обозначения даны по Браве).Порядок закрытых осей симметрии для конечных фигур не ограничен, а для двух- и трёхмерно-периодических фигур возможны только оси 2, 3, 4 или 6-го порядка из-за ограничений, вызванных присутствием двух- или трёхмерной решётки. Для бесконечных фигур с решётками более высоких размерностей возможны оси 5-го, 7-го и более высоких порядков, а также многомерные элементы симметрии (например, «трёхмерные» зеркальные плоскости). Для условных обозначений обычных закрытых элементов симметрии в основном применяют три системы (таблица): по О. Браве (1849), А. Шёнфлису (1891), К. Герману и Ш. Могену (1928–1931). Символику Браве используют как учебную, обозначения Шёнфлиса и зеркально-поворотные оси применяют в физике, химии и других естественных науках, символику Германа – Могена (или международную) и инверсионные оси главным образом используют в кристаллографии. Графические и международные обозначения центра симметрии и некоторых поворотных и инверсионных осей даны на рис. 2, Рис. 2. Международные обозначения некоторых поворотных и инверсионных осей.Рис. 2. Международные обозначения некоторых поворотных и инверсионных осей.зеркальную плоскость на графиках точечных и пространственных групп показывают двойной линией или одинарной жирной линией соответственно.