Уравне́ния Э́йлера механики твёрдого тела, динамические и кинематические уравнения, описывающие движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. В 1750 г. Л. Эйлер применил основные законы динамики к движению каждой частицы твёрдого тела в проекциях на оси неподвижной системы координат, что позволило ему вывести уравнения вращения твёрдого тела. Позднее, используя в качестве осей основные системы координат главной оси инерции тела, Эйлер придал общим динамическим уравнениям современную форму. Уравнения Эйлера, опубликованные в 1765 г. в трактате «Теория движения твёрдых тел», дают исчерпывающее описание всех видов движений всех видов твёрдых тел.

Динамические уравнения Эйлера имеют вид:

$$I_x·dω_x/dt + (I_z – I_y)·ω_yω_z = M_x, \\ I_y·dω_y/dt + (I_x – I_z)·ω_zω_x = M_y, \\ I_z·dω_z/dt + (I_y–I_ x)·ω_xω_y = M_z,$$где $I_x,I_ y,I_ z$ – моменты инерции тела относительно главных осей инерции, проведённых из неподвижной точки, $ω_x,$ $ω_y,$ $ω_z$ и $dω_x/dt,$ $dω_y/dt,$ $dω_z/dt$ – проекции соответственно мгновенной угловой скорости тела и его углового ускорения на эти оси, $M_x,$ $M_y,$ $M_z$ – главный момент сил, действующих на тело, относительно тех же осей.

Уравнения Эйлера позволяют определить момент сил, действующих на тело, опираясь на знание закона его движения. Если известна зависимость сил, действующих на тело, от угловых скоростей и, например, от углов Эйлера $(θ, φ, ψ)$ и времени $t,$ то к динамическим уравнениям Эйлера необходимо добавить кинематические уравнения Эйлера:

$$ω_x = dθ/dt \cosφ - dψ/dt \sin θ \sin φ, \\ ω_y = dθ/dt \sin φ + dψ/dt \sin θ \cos φ, \\ ω_z = dφ/dt + dψ/dt \cos θ.$$Это позволяет установить законы движения тела, отвечающие различным начальным условиям.

В частном случае, при $M_x =M_ y =M_ z = 0$, динамические уравнения Эйлера имеют первые интегралы, отвечающие сохранению вектора кинетического момента и кинетической энергии тела. Такое решение динамических уравнений Эйлера используется при приближённом описании собственного вращения небесных тел и дальних космических аппаратов.