Уравне́ние Ре́дфилда, в теории открытых квантовых систем – уравнение, описывающее динамику редуцированной матрицы плотности в пределе слабой связи во втором порядке теории возмущений.

Формулировка

В рамках предела слабой связи рассматривается модель открытой системы и резервуара с гамильтонианом вида $H_0 + \lambda H_I,$ где $H_0$ – гамильтониан свободной динамики, являющийся суммой гамильтонианов свободной динамики системы и резервуара $H_0 =H_S + H_B,$ $H_I$ – гамильтониан взаимодействия, $\lambda$ – обезразмеренная константа связи, которая считается малой. Пусть $\rho_I(t)$ и $\lambda H_I(t)$ – редуцированная матрица плотности системы и гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия соответственно. Кроме того, предполагается, что $\mathrm{Tr}_B H_I(t) \rho_B(0) = 0,$ где $\mathrm{Tr}_B$ – частичный след по пространству резервуара. В таком случае в главном порядке теории возмущений возникает интегро-дифференциальное уравнение, учитывающее члены второго порядка по $\lambda,$ а именно $$\frac{d}{dt} \rho_I(t) = - \lambda^2 \int_0^t ds \; \mathrm{Tr}_B [H_I(t), [H_I(t-s), \rho_I(t) \otimes \rho_B(0) ]].$$

Иногда уравнением Редфилда называется данное уравнение (Бройер. 2010). Иногда (May. 2004) уравнением Редфилда называют уравнение, полученное из данного, в предположении, что существует масштаб времён такой, что подынтегральное выражение достаточно быстро стремится к нулю по $s$ и интеграл можно с достаточной точностью продлить до бесконечности:$$\frac{d}{dt} \rho_I(t) = - \lambda^2 \int_0^{\infty} ds \; \mathrm{Tr}_B [H_I(t), [H_I(t-s), \rho_I(t) \otimes \rho_B(0) ]].$$

Характерное время распада подынтегрального выражения по $s$ называют временем корреляции резервуара.

Нарушение положительности

Важной особенностью последнего уравнения является то, что оно не сохраняет положительность (Suárez. 1992; Gaspard. 1999), а именно: начальная матрица плотности может перестать быть матрицей плотности в процессе эволюции. Но можно ввести линейные операторы, которые отображают начальные условия в такие матрицы плотности, что положительность их будет сохраняться. С физической точки зрения введение таких операторов связано с тем, что данное уравнение некорректно описывает начальный период динамики на масштабах порядка времени корреляции резервуара. Явление отличия точных начальных условий от начальных условий, для которых сохраняется положительность, называется проскальзыванием начальных условий.

Если дополнительно пренебречь в уравнении Редфилда быстро осциллирующими членами, то возникает уравнение Редфилда в секулярном приближении. Оно уже имеет вид Горини – Коссаковского – Сударшана – Линдблада и, в частности, сохраняет положительность. Оно совпадает с уравнениями, которые были получены строго (Davies. 1974; Accardi. 2011) в пределе Боголюбова – Ван Хова.

История открытия

Уравнение Редфилда получено Р. К. Вангснессом, Ф. Блохом (Wangsness. 1953; Bloch. 1956; Bloch. 1957) и А. Г. Редфилдом (Redfield. 1957) в 1950-x гг. в контексте ядерного магнитного резонанса. Большую популярность получила работа Редфилда 1965 г., в которой систематически излагалась теория вывода данного уравнения (Redfield. 1965). Поэтому чаще всего данное уравнение и его приближения называются его именем. Также используются названия «уравнение Блоха – Редфилда» (Chruściński. 2022), реже – «уравнение Вангснесса – Блоха – Редфилда» (Донская. 1982).