Теоре́ма Кро́некера, пусть даны $a_i=\left(a_{i_1}, \ldots, a_{i_n}\right) \in \mathbb{R}^n$, $i=1, \ldots, m$, и $b=\left(b_1, \ldots, b_n\right) \in \mathbb{R}^n$; для того чтобы при любом $\varepsilon>0$ существовали целые числа $q_i$, $i=1, \ldots, m$, и $p_j$, $j=1, \ldots, n$, такие, что

$$\left|\sum_{i=1}^m g_i a_{i j}-p_j-b_j\right|<\varepsilon, \quad 1 \leqslant j \leqslant n,$$необходимо и достаточно, чтобы для любых чисел $r_1,\ldots, r_n \in \mathbb{Z}$, таких, что

$$\sum_{i=1}^n a_{i j} r_j \in \mathbb{Z}, \quad i=1, \ldots, m,$$число

$$\sum_{j=1}^n b_j r_j$$также было целым. Эта теорема была доказана в 1884 г. Л. Кронекером (Kronecker. 1899).

Теорема Кронекера является частным случаем следующей теоремы, описывающей замыкание подгруппы тора $T^n=\mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$, порождённой элементами $a_i+\mathbb{Z}^n$, $i=1, \ldots, m$: это замыкание состоит в точности из таких классов $b+\mathbb{Z}^n$, что для любых чисел $r_1, \ldots, r_n \in \mathbb{Z}$ таких, что

$$\sum_{j=1}^n a_{i j} r_j \in \mathbb{Z}, \quad i=1, \ldots, n,$$выполнено

$$\sum_{j=1}^n b_j r_j \in \mathbb{Z}[2].$$В условиях теоремы Кронекера указанное замыкание совпадает со всем $T^n$. Это означает, что подгруппа элементов вида

$$\sum_{i=1}^m q_i\left(a_i+\mathbb{Z}\right)^n,$$где $q_i \in \mathbb{Z}$, плотна в $T^n$, а подгруппа векторов вида

$$\sum_{i=1}^m q_i a_i+p,$$где $p \in \mathbb{Z}^n$, плотна в $\mathbb{R}^n$. Теорему Кронекера можно вывести из теории двойственности для коммутативных топологических групп (Понтрягин. 1973).

В случае $m=1$ теорема Кронекера превращается в следующее утверждение: для того чтобы класс $\omega+\mathbb{Z}^n$, где $\omega= \left(\omega_1, \ldots, \omega_n\right) \in \mathbb{R}^n$, порождал $T^n$ как топологическую группу, необходимо и достаточно, чтобы числа $1, \omega_1, \ldots, \omega_n$ были линейно независимы над полем $Q$ рациональных чисел. В частности, тор $T^n$ как топологическая группа монотетичен, т. е. порождается одним элементом.