Су́ммы Рамануджа́на, зависящие от двух целочисленных параметров $k$ и $n$ тригонометрические суммы

$$c_k(n)=\sum_h \exp \left(\frac{2 \pi n h i}{k}\right)=\sum_h \cos \frac{2 \pi n h}{k},$$где $h$ пробегает все целые неотрицательные числа, меньшие, чем $k$, и взаимно простые с $k$. Основные свойства cумм Рамануджана – мультипликативность относительно индекса $k$:

$$c_{k k^{\prime}}(n)=c_k(n) c_{k^{\prime}}(n),\; \text { если }\;\left(k, k^{\prime}\right)=1,$$а также представление через функцию Мёбиуса $\mu$:

$$c_k(n)=\sum_{d \backslash(k, n)} \mu\left(\frac{k}{d}\right) d.$$Суммы Рамануджана являются ограниченными, если ограничено $k$ либо $n$. В частности, $c_k(1)=1$.

Многие мультипликативные функции от натурального аргумента разлагаются в ряды по суммам Рамануджана и наоборот, основные свойства сумм Рамануджана позволяют просуммировать суммы вида

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_k(q n)}{n^s} f(n), \quad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{c_k(q n)}{k^s} f(k),$$где $f(n)$ – мультипликативная функция, $q$ – целое число. В частности,

$$\sum_{k-1}^{\infty} \frac{c_k(n)}{n^s} =\frac{\sigma_{1-s}(n)}{\zeta(s)},$$где $\zeta(s)$ – дзета-функция Римана, $\sigma_a(n)$ – сумма $a$-х степеней делителей числа $n$. Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. С. Рамануджаном (Ramanujan. 1918) были получены многие формулы, содержащие суммы Рамануджана.