Самосопряжённое дифференциа́льное уравне́ние, линейное обыкновенное дифференциальное уравнение $l(y)=0$, совпадающее с сопряжённым дифференциальным уравнением $l^*(y)=0$. Здесь

$$l(y) \equiv a_0(t) y^{(n)}+\ldots+a_k(t) y^{(n-k)}+\ldots+a_n(t) y,$$$$l^*(y) \equiv(-1)^n\left(\bar{a}_0 y\right)^{(n)}+\ldots+(-1)^{n-k}\left(\bar{a}_k y\right)^{(n-k)}+\ldots+\bar{a}_n y,$$где

$$y^{(\nu)}=d^\nu y / d t^\nu, y(\cdot) \in C^n(I), a_k(\cdot) \in C^{n-k}(I), \; a_0(t) \neq 0, t \in I;$$$C^m(I)$ – пространство $m$ раз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на $I=(\alpha, \beta)$; черта означает операцию комплексного сопряжения.

Левая часть всякого сопряжённого дифференциального уравнения $l(y)=0$ есть сумма выражений вида

$$l_{2 m}(y)=\left(p_m y^{(m)}\right)^{(m)},$$$$l_{2 m-1}(y)=\frac{1}{2}\left[\left(i q_m y^{(m-1)}\right)^{(m)}+\left(i q_m y^{(m)}\right)^{(m-1)}\right],$$где $p_m(t)$, $q_m(t)$ – действительнозначные достаточно гладкие функции, $i^2=-1$. Самосопряжённое дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами – обязательно чётного порядка и имеет вид:

$$\left(p_0 y^{(m)}\right)^{(m)}+\ldots+\left(p_k y^{(m-k)}\right)^{(m-k)}+\ldots+p_m y=0.$$Линейная система дифференциальных уравнений

$$L(x)=0, \; L(x) \equiv \dot{x}+A(t) x, \; t \in I,$$c непрерывной комплекснозначной $(n \times n)$–матрицей $A(t)$ называется самосопряжённой, если $A(t)=-A^*(t)$, где $A^*(t)$ – эрмитово сопряжённая матрица к матрице $A(t)$ (см.: Камке. 1976; Владимиров. 1981). Это определение не согласовано с определением самосопряжённого дифференциального уравнения. Например, система

$$\dot{x}_1-x_2=0, \; \dot{x}_2+p(t) x_1=0,$$эквивалентная самосопряжённому дифференциальному уравнению

$$\ddot{y}+p(t) y=0,$$– самосопряжённая только в том случае, если $p(t) \equiv 1$.

Краевая задача

$$l(y)=0 . \; t \in \Delta=\left[t_0, t_1\right] \tag{1}$$$$U_k(y)=0, \; k=1, \ldots, n, \tag{2}$$где $U_k: C^{(n)}(\Delta) \rightarrow \mathbb{R}^1$ – линейные и линейно независимые функционалы, описывающие краевые условия, называется самосопряжённой, если она совпадает со своей сопряжённой краевой задачей, т. е. (1) – самосопряжённое дифференциальное уравнение, а $U_k(y)=U_k^*(y)$ для всех $y(\cdot) \in C^n(\Delta)$ и всех $k=1, \ldots, n$. Если (1), (2) – самосопряжённая краевая задача, то справедливо равенство (см. Формулы Грина)

$$\int_{t_0}^{t_1} \bar{\xi} l(y) d t=\int_{t_0}^{t_1} \bar{l}(\xi) y d t$$для любой пары функций $y(\cdot), \xi(\cdot) \in C^n(\Delta)$, удовлетворяющей краевым условиям (2).

Все собственные значения самосопряжённой задачи

$$l(y)=\lambda y, \; U_k(y)=0, \; k=1, \ldots, n,$$действительны, а собственные функции $\varphi_1$, $\varphi_2$, отвечающие различным собственным значениям $\lambda_1$, $\lambda_2$, ортогональны

$$\int_{t_0}^{t_1} \bar{\varphi}_1(t) \varphi_2(t) d t=0.$$Линейная краевая задача

$$L(x) \equiv \dot{x}+A(t) x=0, \; U(x)=0, \; t \in \Delta, \tag{3}$$где $A(t)$ – непрерывная комплекснозначная $n \times n$ матрица, $U$ есть $n$-вектор-функционал на пространстве $C_n^1(\Delta)$ непрерывных комплекснозначных функций $x:   \Delta \rightarrow \mathbb{R}^n$, называется самосопряжённой, если она совпадает со своей сопряжённой краевой задачей,

$$L^*(x)=0, \; U^*(x)=0, \; t \in \Delta,$$т. e.

$$L(x)=-L^*(x), \; U(x)=U^*(x)$$для всех $x(\cdot) \in C_n^1(\Delta)$. Самосопряжённая краевая задача обладает свойствами, аналогичными свойствам задачи (1), (2).

Понятия самосопряжённого дифференциального уравнения и самосопряжённой краевой задачи тесно связаны с понятием самосопряжённого оператора. Самосопряжённое дифференциальное уравнение и самосопряжённая краевая задача определяются также для линейного уравнения с частными производными.