Разры́вная вариацио́нная зада́ча, задача вариационного исчисления, в которой экстремум функционала достигается на ломаной экстремали. Ломаная экстремаль – кусочно гладкое решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее в угловых точках некоторым дополнительным необходимым условиям. Эти условия принимают конкретный вид в зависимости от типа разрывной вариационной задачи. Так, в разрывной вариационной задаче 1-го рода ломаная экстремаль разыскивается при обычных предположениях относительно непрерывности и непрерывной дифференцируемости подынтегральной функции. Для простейшего функционала

$$J=\int_{x_1}^{x_2} F\left(x, y, y^{\prime}\right) d x, \; y\left(x_1\right)=y_1, \; y\left(x_2\right)=y_2, \tag{1}$$в угловой точке $x_0$ ломаной экстремали необходимо выполнение условий Вейерштрасса – Эрдмана

$$F_{y^{\prime}}\left(x_0, y\left(x_0\right), y^{\prime}\left(x_0-0\right)\right)=F_{y^{\prime}}\left(x_0, y\left(x_0\right), y^{\prime}\left(x_0+0\right)\right), \tag{2}$$$$\begin{gathered} F\left(x_0, y\left(x_0\right), y^{\prime}\left(x_0-0\right)\right)- \\ -y^{\prime}\left(x_0-0\right) F_{y^{\prime}}\left(x_0, y\left(x_0\right), y^{\prime}\left(x_0-0\right)\right)= \\ =F\left(x_0, y\left(x_0\right), y^{\prime}\left(x_0+0\right)\right)+ \\ +y^{\prime}\left(x_0+0\right) F_{y^{\prime}}\left(x_0, y\left(x_0\right), y^{\prime}\left(x_0+0\right)\right). \tag{3} \end{gathered}$$В случае, когда $F$ зависит от $n$ неизвестных функций, т. е. $y$ в (1) есть $n$-мерный вектор $y=\left(y_1, \ldots, y_n\right)$, условия Вейерштрасса – Эрдмана в угловой точке имеют вид, аналогичный (2), (3):

$$\left[\frac{\partial F}{\partial y_i^{\prime}}\right]_{x_0-0}=\left[\frac{\partial F}{\partial y_i^{\prime}}\right]_{x_0+0}, i=1, \ldots, n, \tag{4}$$$$\begin{gathered} {\left[F-\sum_{i=1}^n y_i^{\prime} \frac{\partial F}{\partial y_i^{\prime}}\right]_{x_0-0}=\left[F-\sum_{i=1}^n y_i^{\prime} \frac{\partial F}{\partial y_i^{\prime}}\right]_{x_0+0}} . \tag{5} \end{gathered}$$Для задач на условный экстремум, в которых подынтегральная функция зависит от $n$ неизвестных функций и имеется $m$ дифференциальных ограничений типа равенства (см. Задача Больца), условия Вейерштрасса – Эрдмана формулируются с помощью функции Лагранжа $L$ и имеют вид (4), (5) с заменой $F$ на $L$.

В терминах теории оптимального управления необходимые условия в угловой точке ломаной экстремали требуют непрерывности сопряжённых переменных и функции Гамильтона в точках разрыва оптимального управления. Как следует из принципа максимума Понтрягина, эти условия автоматически выполняются, если управление вдоль ломаной экстремали определяется из условия максимума функции Гамильтона.

В разрывной вариационной задаче 2-го рода подынтегральная функция разрывна. Пусть, например, $F (x, y, y^\prime)$ претерпевает разрыв вдоль линии $y=\varphi(x)$ так, что $F(x, y, y^\prime)$ соответственно равна $F_1(x, y, y^\prime)$ и $F_2(x, y, y^\prime)$ по одну и другую сторону от линии $y=\varphi(x)$. Тогда если оптимальное решение существует, то оно достигается на ломаной экстремали, имеющей угловую точку $(x_0, \varphi (x_0))$, и вместо функционала (1) получают функционал

$$J=\int_{x_1}^{x_0} F_1\left(x, y, y^{\prime}\right) d x+\int_{x_0}^{x_2} F_2\left(x, y, y^{\prime}\right) d x=J_1+J_2 . \tag{6}$$Вариация функционала (6) сводится к вариации функционалов $J_1$ и $J_2$ на кривых сравнения, имеющих соответственно правый и левый подвижные концы, смещающиеся вдоль линии $y=\varphi(x)$. Для того чтобы ломаная экстремаль доставляла минимум функционалу (6), необходимо, чтобы в угловой точке $(x_0, \varphi (x_0))$ выполнялось условие

$$\left[F_1-\left(\varphi^{\prime}-y^{\prime}\right) F_{1 y^{\prime}}\right]_{x=x_0-0}=\left[F_2+\left(\varphi^{\prime}-y^{\prime}\right) F_{2 y^{\prime}}\right]_{x=x_0+0} . \tag{7}$$Для случая, когда $F$ зависит от $n$ неизвестных функций $y=(y_1, \ldots, y_n)$, а поверхность разрыва $F$ задана в виде

$$\Phi(x, y)=0, \tag{8}$$необходимые условия в угловой точке ломаной экстремали, находящейся на поверхности (8), принимают вид

$$\begin{gathered} \frac{\left[F_1-\sum_{i=1}^n \frac{\partial F_1}{\partial y_i^{\prime}}\right]_{x_0-0}-\left[F_2-\sum_{i=1}^n \frac{\partial F_2}{\partial y_i^{\prime}}\right]_{x_0+0}}{\left[\frac{\partial \Phi}{\partial x}\right]_{x_0}}= \\ =\frac{\left[\frac{\partial F_1}{\partial y_1^{\prime}}\right]_{x_0-0}-\left[\frac{\partial F_2}{\partial y_1^{\prime}}\right]_{x_0+0}}{\left[\frac{\partial \Phi}{\partial y_1}\right]_{x_0}}=\ldots \\ \ldots=\frac{\left[\frac{\partial F_1}{\partial y_n^{\prime}}\right]_{x_0-0}-\left[\frac{\partial F_2}{\partial y_n^{\prime}}\right]_{x_0+0}}{\left[\frac{\partial \Phi}{\partial y_n}\right]_{x_0}} . \tag{9} \end{gathered}$$Необходимые условия (7), (9) дают недостающие условия для вычисления произвольных постоянных, определяющих ломаную экстремаль, – частное решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям. Действительно, равенства (9) дают $n$ необходимых условий, которые в совокупности с $2n$ граничными условиями, $n$ условиями непрерывной стыковки ломаной экстремали в угловой точке и уравнением (8) дают $4n+1$ условий, с помощью которых можно определить абсциссу угловой точки $x_0$ и $4n$ произвольных постоянных – по $2n$ для каждой из экстремалей, лежащих по разные стороны от поверхности (8).