Проце́сс Гра́ма – Шми́дта (ортогонализация, процесс ортогонализации, процесс ортогонализации Шмидта, процесс ортогонализации Грама – Шмидта), алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов вещественного или комплексного гильбертова пространства $V$ ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в $V$, при котором по линейно независимой системе $a_1, \ldots, a_k$ строится ортогональная система $b_1, \ldots, b_k$ такая, что каждый вектор $b_i$ $(i=1, \ldots, k)$ линейно выражается через $a_1, \ldots, a_i$, т. е. $b_i= \sum_{j=1}^i \gamma_{i j} a_j$, где $C=\left\|\gamma_{i j}\right\|$ – верхняя треугольная матрица. При этом требуется, чтобы система $\left\{b_i\right\}$ была ортонормированной и чтобы диагональные элементы $\gamma_{i i}$ матрицы $C$ были положительны; этими условиями система $\left\{b_i\right\}$ и матрица $C$ определяются однозначно.

Процесс Грама – Шмидта состоит в следующем. Полагают $b_1=a_1$; если уже построены векторы $b_1, \ldots, b_i$, тo

$$b_{i+1}=a_{i+1}+\sum_{j=1}^i \alpha_i b_j,$$где

$$\alpha_j=-\frac{\left(a_{i+1}, b_j\right)}{\left(b_j, b_j\right)},$$$j=1, \ldots, i$, найдены из условия ортогональности вектора $b_{i+1}$ к $b_1, \ldots, b_i$. Геометрический смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор $b_{i+1}$ является перпендикуляром, восставленным к линейной оболочке векторов $a_1, \ldots, a_i$ в линейной оболочке векторов $a_1,\dots,a_i,a_{i+1}$. Произведение длин $\left|b_1\right| \ldots\left|b_k\right|$ равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах системы $\left\{a_i\right\}$ как на рёбрах. Нормируя полученные векторы $b_i$, получают искомую ортонормированную систему. Явное выражение векторов $b_i$ через $a_1, \ldots, a_k$ даёт формула

$$b_i=\left|\begin{array}{cccc} \left(a_1,a_1\right) & \ldots & \left(a_1,a_{i-1}\right) & a_1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \left(a_i,a_1\right) & \cdots & \left(a_i,a_{i-1}\right) & a_i \end{array}\right|$$(определитель в правой части следует формально разложить по последнему столбцу). Соответствующая ортонормированная система имеет вид

$$q_i=\frac{b_i}{\sqrt{\Gamma_{i-1} \bar{\Gamma}_i}},$$где $\Gamma_i$ – определитель Грама системы $a_1, \ldots, a_j$.

Этот процесс примени́м также и к счётной системе векторов.

Процесс Грама – Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной матрицы (или унитарной матрицы в случае комплексного гильбертова пространства) и верхней треугольной матрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай разложения Ивасавы.