Произво́дный автоморфи́зм в эргодической теории, преобразование $T_X$, определяющееся по автоморфизму $T$ пространства с мерой $(M, \mu)$ и измеримому подмножеству положительной меры $X \subset M$, почти все точки которого под действием итераций $T$ снова попадают в $X$. Для каждой такой точки $x$ определяют $T_X(x)$ как ту точку траектории $T^n x$, в которой эта траектория впервые после $x$ возвращается в $X$ [согласно теореме Пуанкаре о возвращении, условие, чтобы почти все точки из $X$ со временем снова возвращались в $X$, автоматически выполняется, если $\mu(M)<\infty$]. Преобразование $T_X$ оказывается автоморфизмом (точнее, автоморфизмом по $\bmod 0$) пространства $X$ с индуцированной на нём мерой [последняя есть мера $\mu$, рассматриваемая только на подмножествах $X$; если $\mu(X)<\infty$, то обыкновенно эту меру ещё нормируют].

Верно и обратное: если $\mathsf{U}_{n \geqslant 0} T^n X=M$ (это условие автоматически выполняется, если автоморфизм $T$ эргодичен), то исходный автоморфизм $T$ восстанавливается (с точностью до сопряжения посредством некоторого изоморфизма пространств с мерой) по $T_X$ и времени возвращения$$n_X(x)=\min \left\{n>0: T^n x \in X\right\}.$$А именно: $T$ есть специальный автоморфизм, построенный по $T_X$ и $n_X$.