Преобразование Мелера – Фока

Преобразова́ние Ме́лера – Фо́ка, интегральное преобразование вида

$$F(x)=\int_{0}^{\infty}P_{i\tau-1/2}(x)f(\tau)\,d\tau, \quad 1\leqslant x<\infty,\tag{1}$$где $P_{\nu}(x)$ – сферическая функция Лежандра 1-го рода. Если $f(\tau)\in L[0,\infty)$, $\left|f^{\prime}(\tau)\right|$ локально интегрируема на $[0,\infty)$ и $f(0)=0$, то имеет место формула обращения

$$f(\tau)=\tau \operatorname{th} \pi \tau \int_{1}^{\infty} P_{i \tau-1/2}(x)F(x)\,dx.\tag{2}$$Равенство Парсеваля. Пусть преобразование Мелера – Фока определено равенствами

$$\begin{aligned} G(\tau)&=\int_{1}^{\infty} \sqrt{\tau \operatorname{th} \pi \tau} P_{i\tau-1/2}(x) g(x)\,d x, \\ g(x)&=\int_{0}^{\infty} \sqrt{\tau \operatorname{th} \pi\tau} P_{i\tau-1/2}(x) G(\tau)\,d\tau. \end{aligned}$$Если $g_{i}(x)$, $i=1,2,$ – произвольные действительные функции и выполняются условия

$$g_{i}(x) x^{-1/2}\ln(1+x)\in L(1,\infty), \quad g_{i}(x)\in L_{2}(1,\infty),$$то

$$\int_{0}^{\infty} G_{1}(\tau) G_{2}(\tau)\,d \tau=\int_{1}^{\infty} g_{1}(x) g_{2}(x)\,dx.$$Обобщённое преобразование Мелера – Фока и формула его обращения имеют вид

$$F(x)=\int_{0}^{\infty} P_{i\tau-1/2}^{(k)}(x) f(\tau)\,d\tau,\tag{3}$$

$$\begin{aligned} f(\tau)&=\frac{1}{\pi} \tau \operatorname{sh} \pi \tau \Gamma\left(\frac{1}{2}-k+i x\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}-k-i x\right)\times\\&\quad\times \int_{1}^{\infty} P_{i\tau-1/2}^{(k)}(x)F(x)\,dx, \end{aligned}\tag{4}$$где $P_{\nu}^{(k)}(x)$ – присоединённые функции Лежандра 1-го рода. При $k=0$ формулы (3), (4) переходят в (1), (2), при $k=1/2$, $y=\operatorname{ch}\alpha$ формулы (3), (4) приводят к косинус-преобразованию Фурье, а при $k=-1/2$, $y=\operatorname{ch}\alpha$ – к синус-преобразованию Фурье. Преобразования (1) и (2) введены Ф. Мелером (1881), основные теоремы доказаны В. А. Фоком (1943).