Термины

Преобразование Конторовича – Лебедева

Преобразова́ние Конторо́вича – Ле́бедева, вида

F(τ)=0Kiτ(x)f(x)dx,F(\tau)=\int_{0}^{\infty} K_{i \tau}(x) f(x)\,d x, где Kν(x)K_{\nu}(x).

Если функция f(x)f(x) имеет ограниченное изменение в окрестности точки x=x0>0x=x_{0}>0 и

f(x)lnxL(0,12),f(x)xL(12,),f(x) \ln x \in L\left(0, \frac{1}{2}\right),\quad f(x) \sqrt{x} \in L\left(\frac{1}{2}, \infty\right),то справедлива формула обращения

f(x0+0)+f(x00)2=2π2x00Kiτ(x0)τshπτF(τ)dτ.\frac{f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2}= \frac{2}{\pi^{2} x_{0}} \int_{0}^{\infty} K_{i \tau}(x_{0}) \tau \operatorname{sh}\pi\tau F(\tau)\,d\tau. Пусть fi(x)f_{i}(x), i=1,2i=1,2 – действительные функции, причём

fi(x)x3/4L(0,),fi(x)L2(0,);Fi(τ)=02τshπτπKiτ(x)xfi(x)dx.\begin{gathered}f_{i}(x) x^{-3 / 4} \in L(0,\infty),\quad f_{i}(x) \in L_{2}(0,\infty); \\ F_{i}(\tau)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{2\tau \operatorname{sh}\pi\tau}}{\pi} \frac{K_{i\tau}(x)}{\sqrt{x}} f_{i}(x)\,dx. \end{gathered}Тогда

0F1(τ)F2(τ)dτ=0f1(x)f2(x)dx\int_{0}^{\infty} F_{1}(\tau) F_{2}(\tau)\,d \tau=\int_{0}^{\infty}f_{1}(x)f_{2}(x)\,dx (равенство Парсеваля).

Конечное преобразование Конторовича – Лебедева имеет вид

F(τ)=2τshπτπ2Iiα(α)20α[Kiτ(α)Iiτ(x)Iiτ(α)Kiτ(x)]f(x)dxx,F(\tau)=\frac{2\tau\operatorname{sh}\pi\tau}{\pi^{2} |I_{i \alpha}(\alpha)|^{2}} \int_{0}^{\alpha}\left[K_{i \tau}(\alpha) I_{i \tau}(x)-I_{i \tau}(\alpha) K_{i \tau}(x)\right] f(x) \frac{d x}{x},

τ>0\tau>0, Iv(x)I_{v}(x) – модифицированная функция Бесселя.

Исследование таких преобразований было начато М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым.

  • Формула обращения
  • Функциональное преобразование