Преобразова́ние Конторо́вича – Ле́бедева, интегральное преобразование вида

$$F(\tau)=\int_{0}^{\infty} K_{i \tau}(x) f(x)\,d x,$$где $K_{\nu}(x)$ – функция Макдональда.

Если функция $f(x)$ имеет ограниченное изменение в окрестности точки $x=x_{0}>0$ и

$$f(x) \ln x \in L\left(0, \frac{1}{2}\right),\quad f(x) \sqrt{x} \in L\left(\frac{1}{2}, \infty\right),$$то справедлива формула обращения

$$\frac{f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2}= \frac{2}{\pi^{2} x_{0}} \int_{0}^{\infty} K_{i \tau}(x_{0}) \tau \operatorname{sh}\pi\tau F(\tau)\,d\tau.$$Пусть $f_{i}(x)$, $i=1,2$ – действительные функции, причём

$$\begin{gathered}f_{i}(x) x^{-3 / 4} \in L(0,\infty),\quad f_{i}(x) \in L_{2}(0,\infty); \\ F_{i}(\tau)=\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{2\tau \operatorname{sh}\pi\tau}}{\pi} \frac{K_{i\tau}(x)}{\sqrt{x}} f_{i}(x)\,dx. \end{gathered}$$Тогда

$$\int_{0}^{\infty} F_{1}(\tau) F_{2}(\tau)\,d \tau=\int_{0}^{\infty}f_{1}(x)f_{2}(x)\,dx$$(равенство Парсеваля).

Конечное преобразование Конторовича – Лебедева имеет вид

$$F(\tau)=\frac{2\tau\operatorname{sh}\pi\tau}{\pi^{2} |I_{i \alpha}(\alpha)|^{2}} \int_{0}^{\alpha}\left[K_{i \tau}(\alpha) I_{i \tau}(x)-I_{i \tau}(\alpha) K_{i \tau}(x)\right] f(x) \frac{d x}{x},$$

$\tau>0$, $I_{v}(x)$ – модифицированная функция Бесселя.

Исследование таких преобразований было начато М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым.