Нера́венство Ха́рди, для рядов: если $p>1$, $a_n \geqslant 0$ и $A_n=a_1+\ldots+a_n$, $n=1,2, \ldots$, то$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{A_n}{n}\right)^p<\left(\frac{p}{p-1}\right)^p \sum_{n=1}^{\infty} a_n^p,$$кроме случая, когда все $a_n$ равны нулю. Константа $\left(\frac{p}{p-1}\right)^p$ в этом неравенстве наилучшая.

Неравенство Харди для интегралов:$$\int_0^{+\infty} x-p\left|\int_0^x f(t) d t\right|^p d x<\left(\frac{p}{p-1}\right)^p \int_0^{+\infty}|f(x)|^p d x,\quad p>1$$и$$\int_0^{+\infty}\left|\int_x^{+\infty} f(t) d t\right|^p d x<p^p \int_0^{+\infty}|x f(x)|^p d x, \quad p>1.$$Неравенства справедливы для всех функций, для которых конечны правые части неравенств, кроме случая, когда функция $f$ почти всюду на интервале $(0,+\infty)$ равна нулю (в этом случае неравенства обращаются в равенства). Константы $\left(\frac{p}{p-1}\right)^p$ и $p^p$ являются наилучшими. Интегральные неравенства Харди обобщаются на произвольные промежутки:

$$\begin{gathered} \int_a^b\left|x^{\alpha-1} \int_a^x f(t) d t\right|^p d x \leqslant c \int_a^b\left|x^\alpha f(x)\right|^p d x, \quad \alpha<1-\frac{1}{p}, \\ \int_a^b\left|x^{\alpha-1} \int_x^b f(t) d t\right|^p d x \leqslant c \int_a^b\left|x^\alpha f(x)\right|^p d x, \quad \alpha>1-\frac{1}{p}, \\ 0 \leqslant a<b \leqslant+\infty, \quad 1 \leqslant p \leqslant+\infty, \end{gathered}$$где $c$ – некоторые постоянные.

Обобщёнными неравенствами Харди называются неравенства вида$$\tag{1}\int_a^b\left|\varphi(x) \int_a^x f(t) d t\right|^p d x \leqslant c \int_a^b|\psi(x) f(x)|^p d x,$$$$\tag{2}\int_a^b\left|\varphi(x) \int_x^b f(t) d t\right|^p d x \leqslant c \int_a^b|\psi(x) f(x)|^p d x.$$В случае $a=0$ и $b=+ \infty$ неравенство (1) имеет место тогда и только тогда, когда$$\operatorname{sip}_{x>0}\left[\int_x^{+\infty}|\varphi(t)|^p d t\right]^{1 / p}\left[\int_0^x|\psi(t)|^{-p^{\prime}} d t\right]^{1 / p^{\prime}}<+\infty,$$а неравенство (2) тогда и только тогда, когда$$\begin{gathered} \sup _{x>0}\left[\int_0^x|\varphi(t)|^p d t\right]^{1 / p}\left[\int_x^{+\infty}|\psi(t)|^{-p^{\prime}} d t\right]^{1 / p^{\prime}}<+\infty, \\ \frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1. \end{gathered}$$