Многочле́н деле́ния кру́га (круговой многочлен), многочлен, имеющий вид$$\Phi_n(x)=\prod_k\left(x-\varphi_k\right),$$где $\varphi_k$ – первообразные корни степени $n$ из единицы и произведение берётся по всем числам $k$, взаимно простым c $n$ и взятым из ряда $1,2, \ldots, n$. Степень многочлена $\Phi_n(x)$ – число натуральных чисел, меньших, чем $n$, и взаимно простых с $n$. Многочлен деления круга удовлетворяет соотношению$$x^n-1=\prod_{d \mid n} \Phi_d(x),$$где произведение берётся по всем положительным делителям $d$ числа $n$, включая и само $n$. Это соотношение позволяет рекурсивно вычислять многочлены $\Phi_n(x)$ путём деления многочлена $x^n-1$ на произведение всех $\Phi_d(x)$, $d<n$, $d \mid n$. При этом коэффициенты многочлена оказываются лежащими в исходном простом поле $P$, а в случае поля рациональных чисел – целыми числами. Так,$$\Phi_1(x)=x-1,\quad \Phi_2(x)=x+1,\quad \Phi_3(x)=x^2+x+1.$$Если $n=p$ – простое и поле $P$ имеет характеристику 0, тo$$\Phi_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1.$$Для многочлена $\Phi_n(x)$ можно указать явное выражение через функцию Мёбиуса $\mu(k)$:$$\Phi_n(x)=\prod_{d \mid n}(x^{d}-1)^{\mu(n / d)}.$$Haпример,$$\begin{aligned} \Phi_{12}(x)&=\left(x^{12}-1\right)\left(x^6-1\right)^{-1}\left(x^4-1\right)^{-1}\left(x^3-1\right)^0\left(x^2-1\right) (x-1)^0\\ &=\frac{x^6+1}{x^2+1}=x^4-x^2+1. \end{aligned}$$Над полем рациональных чисел все многочлены $\Phi_n(x)$ неприводимы, но над конечными простыми полями эти многочлены могут быть приводимы. Так, над полем вычетов по модулю 11 имеет место соотношение:$$\Phi_{12}(x)=x^4-x^2+1=\left(x^2+5 x+1\right)\left(x^2-5 x+1\right).$$Уравнение $\Phi_n(x)=0$, дающее все первообразные корни $n$-й степени из единицы, называется уравнением деления круга (окружности). Решение этого уравнения в тригонометрической форме имеет вид:$$r_k=\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n}=e^{2 k \pi i / n},$$где дробь $k / n$ несократима, т. е. $k$ и $n$ взаимно просты. Решение в радикалах уравнения деления круга тесно связано с задачей построения правильного $n$-угольника или с эквивалентной ей задачей деления окружности на $n$ равных частей, а именно, задача деления окружности на $n$ частей решается с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда уравнение $\Phi_n(x)=0$ решается в квадратных радикалах. Последнее, как доказал K. Ф. Гаусс (Gauss. 1801), имеет место в том и только в том случае, когда$$n=2^m p_1 p_2 \ldots p_s,$$где $m$ – целое неотрицательное число и $p_1, p_2, \ldots, p_s$ – попарно различные простые числа, представимые в виде $2^{2 k}+1$ с целым неотрицательным $k$.