Ме́тод Кро́некера, метод разложения многочлена с рациональными коэффициентами на неприводимые множители над полем рациональных чисел; предложен в 1882 г. Л. Кронекером (Kronecker. 1882). Пусть $d$ – общий знаменатель всех коэффициентов многочлена $\varphi(x)$. Тогда $f(x)=d \varphi(x)$ – многочлен с целыми коэффициентами; причём из любого разложения $\varphi(x)$ на неприводимые множители с рациональными коэффициентами можно получить разложение $f(x)$ на неприводимые множители с целыми коэффициентами, множители которого отличаются от соответствующих множителей $\varphi(x)$ лишь постоянными множителями, и обратно.

Пусть $f(x)$ имеет степень $n>0$ и $k$ – наибольшее натуральное число, для которого $k \leqslant n / 2$. Если $f(x)=g(x) \times h(x)$ – разложение $f(x)$ на множители с целыми коэффициентами, где степень $g(x)$ не больше степени $h(x)$, то степень $g(x)$ не превосходит $k$. Давая $x$ любые $k+1$ различных целых значений $x=c_i$, $i=1,2, \ldots, k+1$, получают равенства$$f\left(c_i\right)=g\left(c_i\right) h\left(c_i\right), \quad i=1,2, \ldots, k+1,$$где $g\left(c_i\right)$ и $h\left(c_i\right)$ – целые числа. Таким образом, $g\left(c_i\right)$ делит $f\left(c_i\right)$. Беря произвольные делители $d_i$ чисел $f\left(c_i\right)$, получают$$g\left(c_i\right)=d_i, \quad i=1,2, \ldots, k+1.$$Из этих равенств многочлен $g(x)$ находится по интерполяционной формуле Лагранжа или проще – из уравнений для коэффициентов. Найденный многочлен $g(x)$ надо испытать, проверив, делит ли он $f(x)$. Это построение многочлена и проверка проводятся для всевозможных наборов делителей чисел $f\left(c_i\right)$.

Далее этот же процесс применяется к $g(x)$ и $h(x)$ и т. д., пока не приходят к неразложимым множителям.

Метод Кронекера приводит к громоздким вычислениям. Для упрощения можно сначала понизить степень $f(x)$, выделив его рациональные корни (Курош. 1975. С. 355).

Пример. $f(x)=x^5-x^4-2 x^3-8 x^2+6 x-1$ (это многочлен с целыми коэффициентами и без рациональных корней). Если $f(x)=g(x) h(x)$, где степень $k$ многочлена $g(x)$ не больше степени $h(x)$, то $2 \leqslant k<5/2$, т. е. $k=2$. Пусть $c_1=0$, $c_2=1$, $c_3=2$. Тогда $f(0)=1$; $f(1)=-5$; $f(2)=-21$. Делители этих чисел: $d_1= \pm 1$, $d_2= \pm 1, \pm 5$, $d_3= \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$. Всего получается $2 \cdot 4 \cdot 8=64$ комбинации. Две комбинации $d_i$, отличающиеся лишь знаком, дают два многочлена $\pm g(x)$. Поэтому можно проверять лишь $g(0)=+1$. Остаются $32$ случая. Перебирая все эти случаи, можно найти лишь один многочлен 2-й степени, делящий $f(x)$. Это $g(x)=x^2-3 x+1$. Откуда $f(x)=\left(x^2-3 x+1\right)\left(x^3+2 x^2+3 x-1\right)$. Оба сомножителя этого разложения неприводимы (как многочлены 2-й и 3-й степеней, не имеющие рациональных корней).