Математи́ческие зада́чи турбуле́нтности, вывод, анализ и решение уравнений, описывающих турбулентные течения жидкостей и газов (т. е. такие завихрённые течения, термодинамические и гидродинамические характеристики которых испытывают хаотические флуктуации из-за наличия многочисленных вихрей различных размеров и потому изменяются в пространстве и времени весьма нерегулярно).

Индивидуальные реализации турбулентных течений описываются обычными уравнениями гидромеханики вязкой жидкости. Единственность решения задачи Коши для них не доказана (доказательство удаётся лишь для двумерных течений и при специальных предположениях об изменчивости кинематической вязкости $\nu$). Стационарные решения, отвечающие ламинарным течениям, формально существуют при любых числах Рейнольдса $\mathrm{Re}=U L / \nu$ ($L$ и $U$ – масштабы длины и скорости), но при $\mathrm{Re}>\mathrm{Re}_{\text {кр }}$ они неустойчивы. Гидродинамическая неустойчивость относительно малых возмущений поля скорости вида$$\boldsymbol{u^{\prime}}(\boldsymbol{x}, t)=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x}) \exp (\lambda t)$$исследуется как задача о собственных значениях соответствующего линеаризованного уравнения для $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x})$ (т. н. уравнение Орра – Зоммерфельда).

При значениях числа Рейнольдса $\mathrm{Re}$ в некоторой окрестности $\mathrm{Re}_{\mathrm{кр}}$ в фазовом пространстве течения существует однопараметрическое семейство замкнутых траекторий. Если оно появляется лишь при $\mathrm{Re}>\mathrm{Re}_{\mathrm{кр}}$, то бифуркация называется нормальной и замкнутые траектории суть предельные циклы, которым соответствуют периодические по $t$ решения с конечными амплитудами порядка $\left(\mathrm{Re}-\mathrm{Re}_{\mathrm{кр}}\right)^{1 / 2}$ и произвольными фазами. По предположению Л. Д. Ландау (1944), турбулентность образуется в результате последовательности нормальных бифуркаций и представляет собой квазипериодическое эргодическое течение с очень большим числом несоизмеримых частот колебаний и соответствующих степеней свободы – фаз колебаний.

Если семейство замкнутых фазовых траекторий появляется ещё при $\mathrm{Re}<\mathrm{Re}_{\mathrm{кр}}$, то бифуркация называется обратной, предельные циклы неустойчивы (т. е. траектории с них сматываются); при $\mathrm{Re} \rightarrow \mathrm{Re}_{\mathrm{кр}}-0$ они сжимаются и в пределе исчезают, a при $\mathrm{Re}>\mathrm{Re}_{\mathrm{кр}}$ возмущения разрастаются со временем и, по-видимому, быстро приобретают непериодический характер. Возможно, что в этом случае в фазовом пространстве имеется странный аттрактор, т. е. множество $\Lambda$ неблуждающих точек (у которых каждая окрестность пересекается c некоторой траекторией по меньшей мере дважды), отличающихся от неподвижных точек и замкнутых траекторий и имеющих окрестности, в которых появляющиеся траектории все асимптотически приближаются к $\Lambda$.

Существует гипотеза, что после четырёх бифуркаций в фазовом пространстве течений жидкости появляется странный аттрактор, являющийся локально канторовым множеством двумерных поверхностей, попадание на который и создаёт хаотичность течения, т. е. турбулентность. Однако доказательной теории бифуркаций для гидродинамических систем ещё не построено.

Наиболее полным статистическим описанием турбулентного течения несжимаемой жидкости является задание вероятностной меры $P(\omega)$ на функциональном пространстве возможных полей скорости $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t)$ или её функционального преобразования Фурье – характеристического функционала, например в спектральном представлении $\Psi[\boldsymbol{z}(k, t)]$. Для него из уравнений Навье – Стокса выводится линейное уравнение в вариационных производных (так что статистическая динамика турбулентности оказывается линейной), которое надлежит решать при заданном$$\Psi_0[\boldsymbol{z}(\boldsymbol{k})]=\Psi\left[\boldsymbol{z}(\boldsymbol{k}) \delta\left(t-t_0\right)\right].$$В частности, для пространственного характеристического функционала $\Psi[\boldsymbol{z}(\boldsymbol{k}), t]$, дающего полное статистическое описание поля скорости в фиксированный момент времени $t$, получается уравнение Хопфа:$$\begin{gathered} i \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\left(H_0+H_1\right) \Psi ; H_0=-i \nu \int d \boldsymbol{k} \boldsymbol{k}^2 z_\alpha(\boldsymbol{k}) D_\alpha(\boldsymbol{k}) ; \\ H_1=\iint d \boldsymbol{k}^{\prime} d \boldsymbol{k}^{\prime \prime} B_{\alpha, \beta \gamma}\left(\boldsymbol{k}^{\prime}+\boldsymbol{k}^{\prime \prime}\right) z_\beta\left(\boldsymbol{k}^{\prime}+\boldsymbol{k}^{\prime \prime}\right) D_\alpha\left(\boldsymbol{k}^{\prime}\right) D_\gamma\left(\boldsymbol{k}^{\prime \prime}\right), \end{gathered}$$где$$B_{\alpha, \beta \gamma}(k)=i k_\alpha\left(\delta_{\beta \gamma}-k_\beta k_\gamma k^{-2}\right),$$а $D_\alpha(\boldsymbol{k})$ – оператор вариационного дифференцирования по $z_\alpha(\boldsymbol{k})$. Это уравнение аналогично уравнению для вектора состояния $\Psi$ в представлении Шрёдингера квантового бозе-поля с сильным взаимодействием специального вида (слияние двух бозонов в один): $z_\alpha(\boldsymbol{k})$ и $D_\alpha(k)$ суть операторы рождения и уничтожения квантов с импульсом $\boldsymbol{k}$, а константой взаимодействия служит $\mathrm{Re}$. Общих методов решения линейных уравнений в вариационных производных ещё не создано. При $\mathrm{Re} \gg 1$ теория возмущений не действует, хотя частичное суммирование диаграмм Фейнмана возможно. Решение $\Psi$ можно записать в виде континуального интеграла, но общих методов для вычисления таких интегралов ещё нет. Зато общим методом нахождения вероятностных мер $P(\omega)$ для описания турбулентных течений может служить построение таких мер $P_e(\omega)$ для галеркинских аппроксимаций уравнений Навье – Стокса: для семейства мер $\left\{P_e\right\}$ доказывается слабая компактность; этим методом, в частности, доказываются некоторые теоремы существования и единственности решений $\Psi$.

Эквивалентная формулировка полного статистического описания турбулентного течения заключается в задании всех конечномерных плотностей вероятности $f_n=P_{M_1 \ldots M_n}\left(\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_n\right)$ для значений $\boldsymbol{u}_m=u\left(M_m\right)$ поля скорости на всевозможных конечных наборах точек $M_m=\left(x_m, t_m\right)$ пространства-времени. Для них из уравнений Навье – Стокса выводятся (Монин. 1981) линейные уравнения:$$\frac{\partial f_n}{\partial t_k}=-\left(\frac{\partial u_{k \alpha} f_n}{\partial x_{k \alpha}}+\frac{\partial w_{k \alpha} f_n}{\partial u_{k \alpha}}\right),$$где $\boldsymbol{w}_k$ – перенёсенное в точку $M_k$ условное математическое ожидание ускорения в точке $\left(x, t_k\right)$ при условии, что значения $\boldsymbol{u}_1=\boldsymbol{u}\left(M_1\right), \ldots, \boldsymbol{u}_n=\boldsymbol{u}\left(M_n\right)$ фиксированы. Величины $w_{k \alpha} f_n$ содержат интегралы по $f_{n+1} d \boldsymbol{u}_{n+1}$, так что уравнения для $f_n$ образуют бесконечную цепочку (аналогичную цепочке уравнений Боголюбова). Интегрируя уравнение для $\partial f_{n} / \partial t_k$ по $F\left(\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_n\right) \times d \boldsymbol{u}_1 \ldots d \boldsymbol{u}_k$, получают обобщённые уравнения Фридмана – Келлера$$\frac{\partial \bar{F}}{\partial t_k}=-\frac{\overline{\partial u_{k \alpha} F}}{\partial x_{k \alpha}}+\overline{w_{k \alpha} \frac{\partial F}{\partial u_{k \alpha}}},$$где чёрточка – математическое ожидание. Это уравнение было выведено при $F=u_{1 \alpha_1}^{m_1} \ldots u_{n \alpha_n}^{m_n}$, так что $\bar{F}$ – это $n$-точечный статистический момент поля скорости порядка $N=m_1+\ldots+m_n$. Уравнения для моментов образуют бесконечную цепочку (разрешимость которой доказывается с помощью галеркинских аппроксимаций уравнений Навье – Стокса).

При $N=1$ эти уравнения (уравнения Рейнольдса) получаются непосредственным осреднением уравнений Навье – Стокса и отличаются от таковых для осреднённого поля скорости $\bar{\boldsymbol{u}}$ появлением дополнительных неизвестных – одноточечных вторых моментов $\tau_{j l}=-\rho \overline{u_j^{\prime} u_l^{\prime}}$ ($\rho$ – плотность жидкости, штрихи обозначают отклонения от математических ожиданий), называемых напряжениями Рейнольдса. Простейшим способом замыкания системы уравнений Фридмана – Келлера является представление $\tau_{j l}$ в виде функций от $\partial \bar{u}_i / \partial x_k$. В т. н. полуэмпирической теории турбулентности эти функции берутся линейными и для их коэффициентов (имеющих смысл коэффициентов турбулентной вязкости) принимаются те или иные дополнительные предположения (например, пропорциональность $l \sqrt{b}$, где $l$ и $b$ – масштаб и кинетическая энергия турбулентности в единице массы, для которых конструируются дополнительные уравнения – это делает реологию осреднённого течения нелинейной и создаёт специфические эффекты).

При $N=2$ получаются уравнения для двухточечных корреляционных функций поля скорости $\overline{u_{1 \alpha}^{\prime} u_{2 \beta}^{\prime}}$ [или их преобразований Фурье по $\left(M_1-M_2\right)$-спектральных функций]. Для их замыкания необходимы дополнительные предположения о входящих в них третьих моментах (Монин. 1965–1967; Монин. 1981). Наиболее естественные методы построения замкнутых уравнений для спектров турбулентности получаются обрезанием частично просуммированных диаграмм Фейнмана.

Существенные геометрические упрощения получаются в случае однородной и изотропной турбулентности. Эта модель важна, потому что всякая реальная турбулентность с очень большим числом Рейнольдса оказывается локально-стационарной, локально-однородной и локально-изотропной. При этом при фиксированной скорости диссипации кинетической энергии $\varepsilon$ статистическая структура трёхмерного турбулентного течения с очень большим числом Рейнольдса в достаточно малых масштабах полностью определяется двумя параметрами $\varepsilon$ и $\nu$, так что, например, структурная функция скоростей при $r \ll L$ должна иметь вид$$\overline{\left[u_\alpha(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{r}, t)-u_\alpha(\boldsymbol{x}, t)\right]^2}=(\varepsilon r)^{2 / 3} \varphi(r / \lambda),$$где $L$ – масштаб течения В целом, а $\lambda=\varepsilon^{1 / 4} \nu^{-3 / 4}$ – колмогоровский внутренний масштаб; в т. н. инерционном интервале масштабов $L \gg r \gg \lambda$ параметр $\nu$ выпадает и функция $\varphi$ обращается в константу. Если же учитывать флуктуации поля $\varepsilon$, то колмогоровская автомодельность становится неполной и структурная функция приобретает поправочный множитель $(r / L)^m$ с небольшим показателем.

В двумерных течениях, кроме энергии, адиабатическим интегралом движения является ещё средний квадрат вихря – энстрофия (так что вихревые нити не растягиваются) и, кроме параметров $\varepsilon$ и $\nu$, появляется ещё скорость вырождения энстрофии $\varepsilon_\omega$. При этом от масштабов энергоснабжения энергия передаётся в сторону больших масштабов по колмогоровскому закону, а энстрофия – в сторону малых масштабов по нелокальному спектральному закону (Мирабель. 1979):$$E(k)=C_\omega \varepsilon_\omega^{2 / 3} k^{-3}\left(\ln \frac{k}{k_0}\right)^{-1 / 3}.$$Такими свойствами обладает крупномасштабная квазидвумерная турбулентность в атмосфере и в океане, образуемая синоптическими вихрями и волнами Россби – Блиновой. Роль вихря двумерного течения здесь играет т. н. потенциальный вихрь – скалярное произведение вихря абсолютной скорости на градиент энтропии. Уравнение для него в квазигеострофическом приближении получается в виде$$\frac{\partial \mathscr{L} \psi}{\partial t}+J(\psi, \mathscr{L} \psi)+\beta \frac{\partial \psi}{\partial x}=F;\quad \mathscr{L}=\Delta+\frac{\partial}{\partial z} \frac{H^2}{L_R^2} \frac{\partial}{\partial z},$$где $\psi$, $\Delta$, $J$ – горизонтальные функция тока, лапласиан и якобиан, $z$ – вертикальная координата, $H$ и $L_R=H N / f$ – толщина слоя и «радиус деформации» Россби ($N$ – частота Вайссала – Брента, $f$ – параметр Кориолиса), $x$ – дуга круга широты, $\beta$ – производная от $f$ по дуге меридиана, $F$ – неадиабатические факторы. В масштабах $L \ll L_R$ получается обычное уравнение двумерной турбулентности. Волновое число $k_\beta=(\beta / 2 U)^{1 / 2}$ (где $U$ – типичная скорость) разделяет вихри $\left(k>k_\beta\right)$ и волны Россби – Блиновой $\left(k<k_\beta\right)$. Малые начальные вихри имеют тенденцию со временем расти, выравниваться по вертикали («баротропизация»), смещаться на запад и вытягиваться вдоль кругов широты.

Важными обобщениями турбулентности в несжимаемой жидкости являются турбулентности в страфицированной жидкости с архимедовыми силами и гидромагнитная турбулентность.