Физические процессы, явления

Когерентность колебаний и волн

Когере́нтность колеба́ний и волн (от лат. cohaerens – находящийся в связи), коррелированность (согласованность) или , в том числе случайных, протекающих в различных точках и в различные моменты времени, позволяющая наблюдать при их сложении . Колебания полностью когерентны при постоянной разности фаз между ними. При разности фаз, флуктуирующей в пределах 2π2\pi за время наблюдения, колебания можно считать некогерентными.

Понятие «когерентность» применялось сначала к , однако когерентность характерна для волн любой природы, для которых выполняется ( любого диапазона, волн вероятности в , , и др.).

Пространственно-временнóе изменение поля обычно измеряется как усреднённый по времени сигнал с квадратичного детектора, а степень связанности (согласованности) полей в различных пространственно-временны́х точках количественно характеризуется различных порядков (обычно чётных). Вид корреляционных функций зависит от природы волн. Скалярные волны с напряжённостью поля Е(r,t)=Re[u(r,t)]Е(\boldsymbol{r}, t)=\text{Re}[u(\boldsymbol{r}, t)], где u(r,t)u(\boldsymbol{r}, t) – комплексная амплитуда, характеризуются скалярными корреляционными функциями порядка 2n2n:

G(2n)(r1,t1,,rn,tn;rn+1,tn+1,,r2n,t2n)=u(r1,t1)u(rn,tn)u(rn+1,tn+1)u(r2n,t2n),G^{(2n)}(\boldsymbol{r}_1,t_1,…, \boldsymbol{r}_n, t_n; \boldsymbol{r}_{n+1}, t_{n+1}, …,\boldsymbol{r}_{2n}, t_{2n})=\langle{u^*}(\boldsymbol{r}_1,t_1)…u^*(\boldsymbol{r}_n, t_n)u (\boldsymbol{r}_{n+1}, t_{n+1})…u (\boldsymbol{r}_{2n}, t_{2n})\rangle,

где rk,tk\boldsymbol{r}_k, t_k – пространственно-временны́е координаты (𝑘=1,2,2n𝑘=1,2,… 2n), звёздочка означает комплексное сопряжение. Для векторных полей корреляционная функция является второго ранга. Угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций случайного процесса u(r,t)u(\boldsymbol{r}, t). В расчётах обычно используют двухточечную функцию взаимной корреляции G(2)(r1,t1;r2,t2)G^{(2)}(\boldsymbol{r}_1, t_1; \boldsymbol{r}_2, t_2), среднюю интенсивность волны I(r,t)=G(2)(r,t;r,t)I (\boldsymbol{r}, t)=G^{(2)} (\boldsymbol{r}, t; \boldsymbol{r}, t), корреляционную функцию интенсивностей G(4)(r1,t1,r2,t2;r1,t1,r2,t2)G^{(4)}(\boldsymbol{r}_1,t_1,\boldsymbol{r}_2,t_2; \boldsymbol{r}_1,t_1, \boldsymbol{r}_2,t_2). Наиболее просто вычисляются корреляционные функции поля для источников, имеющих малую угловую расходимость и состоящих из независимых элементарных излучателей.

Если полное волновое поле образовано суммой полей от двух источников: u(r,t)=u(r1,t1)+u(r2,t2)u (\boldsymbol{r}, t)=u (\boldsymbol{r}_1,t_1)+u (\boldsymbol{r}_2,t_2), где связь между точками (r,t),(r1,t1)(\boldsymbol{r}, t), (\boldsymbol{r}_1,t_1) и (r2,t2)(\boldsymbol{r}_2,t_2) определяется геометрией эксперимента, то сигнал с квадратичного детектора в точке наблюдения r,t\boldsymbol{r}, t равен:

u2=I(r1,t1)+I(r2,t2)+2Re[G(2)(r1,t1,r2,t2)].\langle|u^2|\rangle=I(\boldsymbol {r}_1,t_1)+I(\boldsymbol {r}_2,t_2)+2\text{Re}[G^{(2)}(\boldsymbol {r}_1,t_1,\boldsymbol {r}_2,t_2)].

Для количественного определения когерентности полей в пространственно-временны́х точках (r1,t1)(\boldsymbol{r}_1,t_1) и (r2,t2)(\boldsymbol{r}_2,t_2) вводится величина

γ(r1,t1;r2,t2)=G(2)(r1,t1;r2,t2)I(r1,t1)I(r2,t2),\displaystyle \gamma (\boldsymbol{r} _1, t_1; \boldsymbol{r} _2, t_2)={\frac{G^{(2)} (\boldsymbol {r}_1, t_1; \boldsymbol{r}_2,t_2)}{\sqrt{ I (\boldsymbol{r} _1, t_1) I (\boldsymbol{r} _2, t_2)}}},

называемая степенью взаимной когерентности. Согласно определению γ(r1,t1;r2,t2)1|γ (\boldsymbol{r}_1,t_1;\boldsymbol{r}_2,t_2)|\leq1. При (r1,t1)=(r2,t2)(\boldsymbol{r}_1,t_1)=(\boldsymbol{r}_2,t_2) величина γ=1|γ|=1. При условии I(r1,t1)=I(r2,t2)I (\boldsymbol{r}_1,t_1)= I (\boldsymbol{r}_2,t_2) относительный контраст интерференционной картины

K=(IмаксIмин)/(Iмакс+Iмин)K=(I_{макс}-I_{мин})/(I_{макс}+I_{мин})

совпадает с γ|γ|. Характерный масштаб τ0\tau_0 спадания функции γ(r,t;r,t+τ)|\gamma (\boldsymbol{r}, t; \boldsymbol{r}, t+\tau)| по τ=t2t1\tau=t_2-t_1 есть время когерентности, а величина cτ0c\tau_0 – длина когерентности (cc – скорость света).

Смещение волнового пучка с узким угловым спектром, близкого к , в поперечном направлении приводит к уменьшению степени когерентности. Характерный масштаб r0r_0 уменьшения степени когерентности называется поперечным радиусом когерентности. При распространении волны от протяжённого источника, образованного совокупностью независимых излучателей, поперечный радиус когерентности увеличивается с увеличением расстояния от источника. Величина (r0)2cτ0(r_0)^2c\tau_0 есть объём когерентности; в его пределах случайная фаза поля меняется менее чем на π\pi и колебания частично когерентны.

Понятие «когерентность», основанное на сохранении фазовых соотношений между квантовомеханическими амплитудами вероятности, наряду с понятием широко используется также в квантовой механике, . В этом случае корреляционные функции строятся таким же образом, однако uu^* заменяют на оператор рождения фотона E^+\hat E^+, uu – на оператор уничтожения фотона E^\hat E, а сама корреляционная функция становится оператором, который действует на вектор состояния поля.

При описании динамики резонансных переходов в атомах или молекулах под действием коротких световых импульсов длительностью менее характерного времени релаксации также учитывается когерентность взаимодействия. При этом можно наблюдать когерентные процессы, , , (см. ).

Создание лазеров, генерирующих сверхкороткие световые импульсы (длительностью единицы – сотни фемтосекунд), позволило получать широкополосные поля с высокой степенью когерентности, которые описываются корреляционными функциями высших порядков.

  • Физика колебаний и волн