Когерентность колебаний и волн

Когере́нтность колеба́ний и волн (от лат. cohaerens – находящийся в связи), коррелированность (согласованность) колебаний или волн, в том числе случайных, протекающих в различных точках и в различные моменты времени, позволяющая наблюдать при их сложении интерференционную картину. Колебания полностью когерентны при постоянной разности фаз между ними. При разности фаз, флуктуирующей в пределах $2\pi$ за время наблюдения, колебания можно считать некогерентными.

Понятие «когерентность» применялось сначала к волнам оптического диапазона, однако когерентность характерна для волн любой природы, для которых выполняется принцип суперпозиции (электромагнитных волн любого диапазона, волн вероятности в квантовой механике, упругих волн, волн в плазме и др.).

Пространственно-временнóе изменение поля обычно измеряется как усреднённый по времени сигнал с квадратичного детектора, а степень связанности (согласованности) полей в различных пространственно-временны́х точках количественно характеризуется корреляционными функциями различных порядков (обычно чётных). Вид корреляционных функций зависит от природы волн. Скалярные волны с напряжённостью поля $Е(\boldsymbol{r}, t)=\text{Re}[u(\boldsymbol{r}, t)]$, где $u(\boldsymbol{r}, t)$ – комплексная амплитуда, характеризуются скалярными корреляционными функциями порядка $2n$:

$G^{(2n)}(\boldsymbol{r}_1,t_1,…, \boldsymbol{r}_n, t_n; \boldsymbol{r}_{n+1}, t_{n+1}, …,\boldsymbol{r}_{2n}, t_{2n})=\langle{u^*}(\boldsymbol{r}_1,t_1)…u^*(\boldsymbol{r}_n, t_n)u (\boldsymbol{r}_{n+1}, t_{n+1})…u (\boldsymbol{r}_{2n}, t_{2n})\rangle,$

где $\boldsymbol{r}_k, t_k$ – пространственно-временны́е координаты ($𝑘=1,2,… 2n$), звёздочка означает комплексное сопряжение. Для векторных полей корреляционная функция является тензором второго ранга. Угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций случайного процесса $u(\boldsymbol{r}, t)$. В расчётах обычно используют двухточечную функцию взаимной корреляции $G^{(2)}(\boldsymbol{r}_1, t_1; \boldsymbol{r}_2, t_2)$, среднюю интенсивность волны $I (\boldsymbol{r}, t)=G^{(2)} (\boldsymbol{r}, t; \boldsymbol{r}, t)$, корреляционную функцию интенсивностей $G^{(4)}(\boldsymbol{r}_1,t_1,\boldsymbol{r}_2,t_2; \boldsymbol{r}_1,t_1, \boldsymbol{r}_2,t_2)$. Наиболее просто вычисляются корреляционные функции поля для источников, имеющих малую угловую расходимость и состоящих из независимых элементарных излучателей.

Если полное волновое поле образовано суммой полей от двух источников: $u (\boldsymbol{r}, t)=u (\boldsymbol{r}_1,t_1)+u (\boldsymbol{r}_2,t_2)$, где связь между точками $(\boldsymbol{r}, t), (\boldsymbol{r}_1,t_1)$ и $(\boldsymbol{r}_2,t_2)$ определяется геометрией эксперимента, то сигнал с квадратичного детектора в точке наблюдения $\boldsymbol{r}, t$ равен:

$\langle|u^2|\rangle=I(\boldsymbol {r}_1,t_1)+I(\boldsymbol {r}_2,t_2)+2\text{Re}[G^{(2)}(\boldsymbol {r}_1,t_1,\boldsymbol {r}_2,t_2)].$

Для количественного определения когерентности полей в пространственно-временны́х точках $(\boldsymbol{r}_1,t_1)$ и $(\boldsymbol{r}_2,t_2)$ вводится величина

$\displaystyle \gamma (\boldsymbol{r} _1, t_1; \boldsymbol{r} _2, t_2)={\frac{G^{(2)} (\boldsymbol {r}_1, t_1; \boldsymbol{r}_2,t_2)}{\sqrt{ I (\boldsymbol{r} _1, t_1) I (\boldsymbol{r} _2, t_2)}}},$

называемая степенью взаимной когерентности. Согласно определению $|γ (\boldsymbol{r}_1,t_1;\boldsymbol{r}_2,t_2)|\leq1$. При $(\boldsymbol{r}_1,t_1)=(\boldsymbol{r}_2,t_2)$ величина $|γ|=1$. При условии $I (\boldsymbol{r}_1,t_1)= I (\boldsymbol{r}_2,t_2)$ относительный контраст интерференционной картины

$K=(I_{макс}-I_{мин})/(I_{макс}+I_{мин})$

совпадает с $|γ|$. Характерный масштаб $\tau_0$ спадания функции $|\gamma (\boldsymbol{r}, t; \boldsymbol{r}, t+\tau)|$ по $\tau=t_2-t_1$ есть время когерентности, а величина $c\tau_0$ – длина когерентности ($c$ – скорость света).

Смещение волнового пучка с узким угловым спектром, близкого к плоской волне, в поперечном направлении приводит к уменьшению степени когерентности. Характерный масштаб $r_0$ уменьшения степени когерентности называется поперечным радиусом когерентности. При распространении волны от протяжённого источника, образованного совокупностью независимых излучателей, поперечный радиус когерентности увеличивается с увеличением расстояния от источника. Величина $(r_0)^2c\tau_0$ есть объём когерентности; в его пределах случайная фаза поля меняется менее чем на $\pi$ и колебания частично когерентны.

Понятие «когерентность», основанное на сохранении фазовых соотношений между квантовомеханическими амплитудами вероятности, наряду с понятием интерференции состояний широко используется также в квантовой механике, квантовой оптике. В этом случае корреляционные функции строятся таким же образом, однако $u^*$ заменяют на оператор рождения фотона $\hat E^+$, $u$ – на оператор уничтожения фотона $\hat E$, а сама корреляционная функция становится оператором, который действует на вектор состояния поля.

При описании динамики резонансных переходов в атомах или молекулах под действием коротких световых импульсов длительностью менее характерного времени релаксации населённостей уровней также учитывается когерентность взаимодействия. При этом можно наблюдать когерентные процессы – оптические нутации, затухание свободной поляризации, оптическое эхо, самоиндуцированную прозрачность (см. Нелинейная оптика).

Создание лазеров, генерирующих сверхкороткие световые импульсы (длительностью единицы – сотни фемтосекунд), позволило получать широкополосные поля с высокой степенью когерентности, которые описываются корреляционными функциями высших порядков.