Интерпрета́ция Плю́ккера, модель, реализующая геометрию трёхмерного проективного пространства $P_3$ в гиперболическом пространстве ${ }^3 S_5$. Интерпретация Плюккера основана на специальном истолковании плюккеровых координат прямой, определяемых для любой прямой пространства $P_3$.

При проективных преобразованиях пространства $P_3$ плюккеровы координаты преобразуются линейно. C помощью плюккеровых координат прямых пространства $P_3$ устанавливается взаимно однозначное соответствие между прямыми пространствами $P_3$ и точками проективного пространства $P_5$, координаты которых численно равны плюккеровым координатам прямых пространства $P_3$.

Прямые пространства $P_3$ изображаются точками невырожденной квадрики пространства $P_5$, индекс которой равен трём.

Если считать эту квадрику за абсолют и определить в пространстве $P_5$ проективную (неевклидову) метрику, то получается пятимерное гиперболическое пространство ${ }^3 S_5$. При каждой коллинеации и корреляции пространства $P_3$ происходит линейное преобразование плюккеровых координат, т. е. каждая коллинеация и корреляция изображаются коллинеацией пространства $P_5$, переводящей в себя абсолют. Эти коллинеации тем самым являются перемещениями пространства ${ }^3 S_5$. Перемещения пространства ${ }^3 S_5$ изображают или коллинеации или корреляции пространства $P_3$.

Каждому линейному комплексу пространства $P_3$ сопоставляется точка пространства ${ }^3 S_5$. Проективную геометрию пространства $P_3$ можно рассматривать как неевклидову геометрию гиперболического пространства ${ }^3 S_5$. Именно эта интерпретация геометрии пространства $P_3$ в пространстве ${ }^3 S_5$ называется интерпретацией Плюккера в связи с ролью плюккеровых координат.

Если в качестве основного образа пространства $P_3$ берётся прямая, то геометрию этого пространства можно рассматривать как геометрию на абсолюте пространства $^3S_5$.

Группа проективных преобразований пространства $P_3$ изоморфна группе перемещений пространства ${ }^3 S_5$, и всякому инволюционному проективному преобразованию пространства $P_3$ соответствует инволюционное перемещение пространства ${ }^3 S_5$. Например, нуль-системе в пространстве $P_3$ соответствует отражение от точки и от её полярной гиперплоскости в пространстве ${ }^3 S_5$; инволюционной гомологии в пространстве $P_3$ соответствует гиперболический паратактический сдвиг на полупрямую в пространстве ${ }^3 S_5$ и т. д. Каждой связной компоненте группы проективных преобразований пространства $P_3$ соответствует связная компонента группы перемещений пространства ${ }^3 S_5$.

1) Коллинеациям пространства $P_3$ с положительным определителем, включая тождественное преобразование, отвечают перемещения пространства ${ }^3 S_5$ с определителем, равным $+1$ (сюда включаются тождественные преобразования).

2) Корреляциям пространства $P_3$ с положительным определителем (включая нуль-систему) отвечают перемещения пространства ${ }^3 S_5$ с определителем, равным $-1$, переводящие собственную и идеальную области соответственно в себя (включая отражения от точки).

3) Коллинеациям пространства $P_3$ с отрицательным определителем отвечают перемещения пространства ${ }^3 S_5$ с определителем, равным $+1$, переводящие собственную область в идеальную и обратно, эта компонента содержит гиперболический сдвиг на полупрямую.

4) Корреляциям пространства $P_3$ с отрицательным определителем отвечают перемещения пространства ${ }^3 S_5$ с определителем, равным $- 1$ , переводящие собственную область в идеальную и обратно.

Образам симметрии, соответствующим в пространствах $P_3$ и ${ }^3 S_5$, сопоставляются числовые инварианты, между которыми существуют определённые связи.

Интерпретация Плюккера применяется в исследованиях групп перемещений трёхмерных неевклидовых пространств $S_3$, ${ }^1 S_3$, ${ }^2 S_3$, которые изоморфны определённым подгруппам группы перемещений пространства ${ }^3 S_5$. Устанавливается также взаимосвязь групп движений этих трёхмерных пространств (эллиптического, гиперболического) с группами перемещений пространств низших размерностей (см. Интерпретация Фубини, Интерпретация Котельникова). С помощью интерпретации Плюккера изучается интерпретация трёхмерного симплектического пространства $\mathrm{Sp}_3$ в пространстве ${ }^3 S_5$.

Интерпретация Плюккера предложена Ю. Плюккером (Plücker. 1868–1869).