Фу́нкции Не́ймана, цилиндрические функции 2-го рода. Функции Неймана $N_p(x)$ [иногда применяется обозначение $Y_p(x)$] могут быть определены через функции Бесселя $J_p(x)$ следующим образом:$$N_p(x)=\lim _{k \rightarrow p} \frac{J_k(x) \cos k \pi-J_{-k}(x)}{\sin k \pi}.$$Функции Неймана действительны при действительном положительном $x$ и стремятся к нулю при $x \rightarrow \infty$. При больших $x$ справедливо асимптотическое представление$$N_p(x) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left(x-\frac{1}{2} p \pi-\frac{\pi}{4}\right).$$Функции Неймана связаны рекуррентными формулами$$\begin{aligned} N_{p-1}(x)+N_{p+1}(x)&=(2 p / x) N_p(x), \\ N_{p-1}(x)-N_{p+1}(x)&=2 N_p^{\prime}(x) . \end{aligned}$$При $p=n$ целых:$$N_{-n}(x)=(-1)^n \quad N_n(x);$$для малых $x$:$$N_0(x) \approx-\frac{2}{\pi} \ln \left(\frac{2}{\gamma x}\right), \quad N_n(x) \approx-\frac{(n-1) !}{\pi}\left(\frac{2}{x}\right)^n,$$где $\ln \gamma=C=0,5772 \ldots$ – постоянная Эйлера.

Графики функций Неймана.Графики функций Неймана.Функции Неймана для «полуцелого» порядка $p=n+1 / 2$ выражаются через тригонометрические функции, в частности$$N_{1 / 2}(x)=-\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos x, \quad N_{-1 / 2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x.$$Функции Неймана предложены К. Нейманом (1867).