Фу́нкция ядра́ Аку́шского, позиционная характеристика числа, представленного в системе остаточных классов с модулями $m_1,m_2,\ldots,m_n$ и диапазоном $M=\prod_{i=1}^{n}m_i.$ Функция ядра Акушского определяется соотношением $$C(x)=w_1\left\lfloor\frac{x}{m_1}\right\rfloor+w_2\left\lfloor\frac{x}{m_2}\right\rfloor+\ldots+w_n\left\lfloor\frac{x}{m_n}\right\rfloor,$$где $\lfloor\,\rfloor$ – целая часть числа, $w_1,w_2,\ldots,w_n$ – постоянные (веса) (Акушский. О новой позиционной характеристике ... 1977). Под позиционной характеристикой числа обычно понимают такую функцию, которая зависит только от числа, представленного в системе остаточных классов, и значение которой позволяет судить о расположении на числовой прямой числа, представленного в системе остаточных классов (Торгашев. 1973).

Операции над числами в системе остаточных классов можно разделить на две большие группы: модульные и немодульные. Модульные операции – сложение, вычитание и умножение, выполняются в системе остаточных классов эффективно, тогда как выполнение немодульных операций – определение знака числа, сравнение чисел (RNS Number Comparator ... 2020), деление (Babenko. 2022), определение переполнения диапазона, масштабирование (Burgess. 2003), сопряжено с дополнительными сложностями, а именно с необходимостью вычисления позиционной характеристики числа.

Задавая веса $w_1,w_2,\ldots,w_n,$ можно получать различные позиционные характеристики с заданными для решения конкретной задачи свойствами. Именно веса функции ядра Акушского определяют свойства получаемой позиционной характеристики. Например, выбирая различные значения для констант $w_1,w_2,\ldots,w_n,$ можно получить формулу из китайской теоремы об остатках (Ananda Mohan. 2016) для восстановления позиционного представления числа; позиционную характеристику, вычисляемую с помощью приближённого метода (Residue-to-binary Conversion ... 2017); или, например, формулу для вычисления значения диагональной функции (RNS Number Comparator ... 2020).

Базовым свойством функции ядра Акушского является возможность построения позиционных характеристик, отображающих числа, представленные в системе остаточных классов, в т. н. диапазон функции ядра Акушского $C_M=C(M),$ который может быть меньше диапазона $M$ в зависимости от выбора весов. Таким образом, можно строить позиционные характеристики с произвольным значением $C_M,$ обладающие необходимыми для решения конкретной задачи свойствами.

Значение функции ядра Акушского $C\left(x\right),$ заданной весами $w_1,w_2,\ldots,w_n,$ при условии $0\leqslant C(x)\lt C_M,$ $\forall \,x\in\left[0,M\right),$ можно вычислить с использованием формулы $$\tag{1}C\left(x\right)=\left|\sum_{i=1}^{n}{c_ix_i}\right|_{C_M},$$где $c_i=C\left(B_i\right),$ $M_i=M/m_i$ и $B_i=M_i\cdot\left|M_i^{-1}\right|_{m_i},$ $\left|M_i^{-1}\right|_{m_i}$ – решение сравнения $\alpha M_i\equiv1\mod\ m_i$ относительно $\alpha.$

Вычисление по этой формуле возможно только при отсутствии критических ядер – значений $C(x),$ не попадающих в диапазон ${[0,C}_M)$ при $x\in[0,\ M)$ (Акушский. Вычисление позиционной характеристики ... 1977; Miller. 1986). Существует два подхода к решению проблемы критических ядер: уточнение функции ядра Акушского, вычисленной по формуле $(1),$ или построение функции ядра Акушского, заведомо не имеющей критических ядер.

Для того чтобы функция ядра Акушского $C\left(x\right),$ определяемая весами $w_1,w_2,\ldots,w_n,$ не содержала критических ядер, необходимо и достаточно, чтобы для всех $k=1,\ 2,\ .\ .\ .\ ,\ n$ выполнялись следующие условия: $$\sum_{i=1}^{n}w_i>0,\quad C\left(m_k\right)\geq0,\quad C\left(m_k\right)-w_k+\sum_{i=1}^{n}w_i>0.$$

Функция ядра Акушского может быть использована для реализации операции сравнения чисел в системе остаточных классов в том случае, если она будет монотонно возрастать. Известно, что функция ядра Акушского монотонно возрастает тогда и только тогда, когда все её веса $w_1,w_2,\ldots,w_n$ неотрицательны (The Study of Monotonic Core Functions ... 2021).

Несмотря на то что система остаточных классов используется преимущественно в приложениях, вычисления в которых сводятся к модульным операциям, полностью исключить немодульные операции невозможно хотя бы потому, что на финальном этапе вычислений потребуется восстановление числа в позиционной системе счисления (Krishnan. 1990). Таким образом, от эффективности реализации немодульных операций (напрямую зависящей от эффективности вычисления позиционной характеристики) зависит эффективность вычислительной системы, использующей систему остаточных классов в целом. Кроме того, разработка новых вычислительно эффективных позиционных характеристик позволит существенно расширить область применения системы остаточных классов.