Фо́рмулы коне́чных прираще́ний (в некоммутативном анализе), формулы для разности $f(C)-f(A)$, где $A,C$ – заданные операторы, не обязательно коммутирующие между собой, а $f$ – одноместный символ. Наиболее употребительны две формулы такого рода, являющиеся аналогами классических формул Тейлора и Ньютона.

Формула Ньютона имеет вид$$f(C)-f(A)=\sum_{k=1}^{N-1} \overset{2}{[\![}C-A ]\!] \ldots \overset{2 k}{[\![} C-A ]\!] \frac{\delta^k f}{\delta x^k}(\overset{1}{A}, \overset{3}{A}, \ldots, \overset{2 k+1}{A})+R_N$$с остаточным членом$$R_N=\overset{2}{[\![}C-A ]\!] \ldots \overset{2 N}{[\![} C-A ]\!] \frac{\delta^N f}{\delta x^N}(\overset{1}{C}, \overset{3}{A}, \ldots, \overset{2 N+1}{A}),$$где $\frac{\delta^k f}{\delta x^k}$ – $k$-я разностная производная функции $f$.

Формула Тейлора имеет вид$$f(C)-f(A)=\sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k!} f^{(k)}(A) [\![(\overset{1}{C}-\overset{2}{A})^k ]\!]+Q_N$$с остаточным членом$$Q_N=\overset{2}{[\![}(\overset{1}{C}-\overset{2}{A})^k ]\!] \frac{\delta^N f}{\delta x^N}(\stackrel{1}{C}, \stackrel{3}{A}, \ldots, \stackrel{3}{A}).$$Её недостаток состоит в том, что при $C=A+\varepsilon B$ она не даёт разложение разности $f(C)-f(A)$ по степеням малого параметра $\varepsilon$, если только коммутаторы операторов $A$ и $B$ не удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, таким как нильпотентность и т. п.

Формулы конечных приращений в некоммутативном анализе. Видеолекция Владимира Назайкинского. 2023. Формулы конечных приращений в некоммутативном анализе. Видеолекция Владимира Назайкинского. 2023.

Архив БРЭАрхив БРЭ