Фо́рма Ма́урера – Карта́на, левоинвариантная $1$-форма на группе Ли $G$, т. е. дифференциальная форма $\omega$ степени $1$ на $G$, удовлетворяющая условию $l_a^* \omega=\omega$ для любого левого сдвига $l_g: x \rightarrow g x$, $g, x \in G$. Формы Маурера – Картана на $G$ находятся во взаимно однозначном соответствии с линейными формами на касательном пространстве $T_a(G)$ в точке $e$; точнее, соответствие, сопоставляющее каждой форме Маурера – Картана $\omega$ её значение $\omega_e$ из $T_e(G)^*$, является изоморфизмом пространства формы Маурера – Картана на $T_e(G)^*$. Дифференциал формы Маурера – Картана есть левоинвариантная $2$-форма на $G$, определяемая формулой
$$\tag{1} d \omega(X, Y)=-\omega([X, Y]),$$где $X, Y$ – любые левоинвариантные векторные поля на $G$. Пусть $X_1, \ldots, X_n$ – базис в $T_e(G)$ и пусть $\omega_i$, $i=1, \cdots,n$, – такая форма Маурера – Картана, что

$$\left(\omega_i\right)_e\left(X_j\right)=\delta_{i j}, \quad j=1, \ldots, n.$$Tогда
$$\tag{2} d \omega_i=-\sum_{j, k=1}^n c_{j k}^i \omega_j \wedge \omega_k,$$где $c_{j k}^i$ – структурные константы алгебры Ли $g$ группы $G$, состоящей из левоинвариантных векторных полей на $G$, в базисе $\tilde{X}_1, \ldots, \tilde{X}_n$ таком, что

$$(\tilde{X}_i)_e=X_i, \quad i=1, \ldots, n \text {. }$$Равенства $(2)$ [или $(1)$] называются уравнениями Маурера – Картана. Первым их получил (в иной, но эквивалентной форме) Л. Маурер (L. Maurer. 1899). Формы $\omega_i$ были введены Э. Картаном в 1904 г. (см. Cartan. 1953).

Пусть $x_1, \ldots , x_n$ – канонические координаты в окрестности точки $e$ на $G$, определённые базисом $X_1, \ldots, X_n$. Тогда формы $\omega_i$ записываются в виде

$$\omega_i=\sum_{j=1}^n A_{i j}\left(x_1, \ldots, x_n\right)\, d x_j,$$причём матрица

$$A\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\left(A_{i j}\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)$$вычисляется по формуле

$$A\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\frac{1-e^{-\operatorname{ad} X}}{\mathrm{ad} X},$$где $X=\sum_{i=1}^n x_i \tilde{X}_i$, $\operatorname{ad}$ – присоединённое представление алгебры Ли $q$.

Далее, пусть $\theta$ есть $g$-значная $1$-форма на $G$, сопоставляющая каждому касательному вектору к $G$ единственное левоинвариантное векторное поле, содержащее этот вектор (каноническая левая дифференциальная форма). Тогда

$$\theta=\sum_{i=1}^n \tilde{X}_i \omega_i$$и

$$d \theta+\frac{1}{2}[\theta, \theta]=0,$$что является еще одной записью уравнений Маурера – Картана.