Элеме́нт аналити́ческой фу́нкции, совокупность $(D, f)$ области $D$ на плоскости комплексного переменного $\mathbb C$ и аналитической функции $f(z)$, заданной в $D$ при помощи некоторого аналитического аппарата, позволяющего эффективно осуществить аналитическое продолжение $f(z)$ во всю её область существования как полной аналитической функции. Наиболее простой и чаще всего применяемой формой элемента аналитической функции является круговой элемент в виде совокупности степенного ряда$$f(z) = \sum_{k=0}^\infty c_k (z-a)^k\tag{1}$$и его круга сходимости D$= \{z\in\mathbb C: |z–a| < R\}$ с центром $a$ (центр элемента) и радиусом сходимости $R>0$. Аналитическое продолжение здесь достигается (быть может, многократным) переразложением ряда $(1)$ для различных центров $b$, $|b-a|\le R$ , по формулам вида$$\begin{gathered} f(z) = \sum_{n=0}^\infty d_n(z-b)^n = c_0 +\\ + [c_1 (b-a)+c_1(z-b)]+[c_2(b-a)^2 + 2c_2 (b-a)(z-b) + c_2(z-b)^2]+\dots. \end{gathered}$$Любой из элементов $(D,f)$ полной аналитической функции определяет её однозначно и может быть представлен посредством круговых элементов с центрами $a\in D$.

В случае бесконечно удалённого центра $a=\infty$ круговой элемент принимает вид$$f(z) = \sum_{k=0}^\infty c_k z^{-k}$$с областью сходимости $D = \{z\in\mathbb C: |z|> R\}$.

В процессе аналитического продолжения функция $f(z)$ может оказаться многозначной и могут появиться соответствующие алгебраическим точкам ветвления так называемые разветвлённые элементы вида$$f(z) = \sum_{k=m}^\infty c_k (z-a)^{k/\nu},\quad f(z) = \sum_{k=m}^\infty c_k z^{-k/\nu}$$где $\nu>1$, число $\nu-1$ называется порядком разветвлённости. Разветвлённые элементы обобщают понятие элемента аналитической функции, последние в этой связи называются также неразветвлёнными (при $\nu = 1$) регулярными (при $m\ge 0$) элементами.

В качестве простейшего элемента $(D, f)$ аналитической функции $f(z)$ многих комплексных переменных $z=(z_1,\dots, z_n)$, $n > 1$, можно принять совокупность кратного степенного ряда$$f(z) = \sum_{|k|=0}^\infty c_k (z-a)^k = \sum_{k_1=0}^\infty\dots\sum_{k_n=0}^\infty c_{k_1}\dots c_{k_n} (z_1-a_1)^{k_1}\dots (z_n-a_n)^{k_n},\tag{2}$$где $a = (a_1,\dots,a_n)$ – центр, $|k| = k_1+\dots+k_n$, $c_k = c_{k_1}\dots c_{k_n}, (z-a)^k = (z_1-a_1)^{k_1}\dots (z_n-a_n)^{k_n}$, и некоторого поликруга$$D = \{ z\in\mathbb C^n: |z_j-a_j|<R_j,\ j = 1,\dots,n\},$$в котором ряд $(2)$ абсолютно сходится. Однако, при $n>1$ следует иметь в виду, что поликруг не является точной областью абсолютной сходимости степенного ряда.

Понятие элемента аналитической функции весьма близко к понятию ростка аналитической функции.