Деформа́ция алгебраи́ческого многообра́зия, включение алгебраического многообразия в семейство алгебраических многообразий. Теория деформации алгебраических многообразий и схем представляет собой алгебраический аналог теории деформаций аналитических структур. Её основными вопросами являются следующие.

Существование подъёма. Дана схема $X _{0}$ над полем $k$, схема $S$, точка $s _{0} \in S$ с полем вычетов $k (s _{0} ) = k$. Существует ли плоская $S$-схема $X$, для которой слой $X _ {s _{0}}$над точкой $s _{0}$ изоморфен $X _{0}$? ($S$-схема $X$ называется деформацией, или подъёмом, схемы $X _{0}$ над $S$.)

Проблема универсальности. Существует ли версальная (соответственно универсальная) деформация схемы $X _{0}$, т. е. такая деформация $M$ над схемой $X _{0}$, что для любой другой деформации $X \rightarrow S$ найдётся (соответственно единственный) морфизм $S \rightarrow M$, для которого $X \cong M \times _{M} S$?

Каждая деформация $X \rightarrow S$ схемы $X _{0}$ с помощью операции формального пополнения вдоль слоя $X _ {s _{0}}$ определяет формальную деформацию $\varkappa$ над пополнением локального кольца ${ \mathcal{O} } _ {S , s _{0}}$ схемы $S$ в точке $s _{0}$, т. е. плоскую формальную схему над $\widehat{ {\mathcal O} } _ {S , s _{0}}$ с топологическим пространством $X _{0}$.

Формальные аналоги перечисленных выше вопросов формулируются следующим образом:

Существование формальной деформации. Дано полное локальное кольцо $\Lambda$ с полем вычетов $k$. Существует ли плоская формальная схема над $\Lambda$ с топологическим пространством $X _{0}$?

Существование формальной схемы модулей. Существует ли формальная версальная (соответственно универсальная) деформация, т. е. плоская формальная схема $p \colon \varkappa \rightarrow {\mathcal O}$ над полным локальным кольцом ${\mathcal O}$ с полем вычетов $k$ такая, что для любой формальной деформации $\varkappa ^ \prime \rightarrow \mathop{\rm Spec}\nolimits \ \Lambda$ имеется (соответственно единственный) гомоморфизм колец ${\mathcal O} \rightarrow \Lambda$, для которого $\varkappa ^ \prime \simeq \varkappa \otimes {\mathcal O} \Lambda$?

Универсальная формальная деформация гладкого многообразия представляет собой алгебраический аналог локального пространства модулей в теории деформации аналитических структур.

Если $S = \mathop{\rm Spec}\nolimits \ R$, где $R$ – локальное артиново (соответственно полное) кольцо с полем вычетов $k$, то деформация $X _{0}$ над $S$ называется инфинитезимальной (соответственно эффективной формальной). В случае, когда $R$ – полное локальное кольцо характеристики нуль (например, кольцо векторов Витта), эффективная формальная деформация $X _{0}$ называется подъёмом $X _{0}$ в характеристику нуль.

Если $X _{0}$ – гладкая $k$-схема и $H ^{2} ( X _{0} ,\ T _ {X _{0}} ) = 0$, где $T _ {X _{0}}$ – касательный пучок на $X _{0}$, то для любого артинова (соответственно полного) локального кольца существует инфинитезимальная (соответственно формальная) деформация $X _{0}$. При этом, если $H ^{1} (X _{0} ,\ T _ {X _{0}} ) = 0$, то такая деформация единственна с точностью до изоморфизма (см. Grothendieck. 1971). Аналогичные утверждения для необязательно гладких схем даются в терминах кокасательного комплекса (см. Rim. 1972; Mumford. 1971). Вопрос о существовании эффективной формальной деформации изучается с помощью рассмотрения функтора $D _ {X _{0}}$ из категории $C _{k}$ артиновых локальных колец с полем вычетов $k$ в категорию множеств, который сопоставляет каждому объекту $R$ из $C _{k}$ множество всех инфинитезимальных деформаций $X _{0}$ над $R$. Универсальная формальная деформация $X _{0}$ существует в том и только в том случае, когда функтор является пропредставимым функтором. При этом пропредставляющий объект – полное локальное кольцо $M _ {X _{0}}$ с полем вычетов $k$ – называется формальной схемой модулей $k$-схемы $X _{0}$. Формальная версальная деформация $\widetilde \rho : \ \widetilde \varkappa \rightarrow \widetilde{M} _ {X _{0}}$ существует, если $X _{0}$ собственна над $k$ или $X _{0}$ есть аффинная схема конечного типа над $k$ с изолированными особыми точками (см. И. В. Долгачев, В. А. Исковских; Mumford D.). Версальная формальная деформация является универсальной, если для любого сюръективного гомоморфизма $R ^ {\ \prime} \rightarrow R$ локальных артиновых колец и деформации $X ^ {\ \prime} \rightarrow R ^ {\ \prime}$ из $D _ {X _{0}} ( R ^ {\ \prime} )$ естественное отображение групп автоморфизмов

$$\mathop{\rm Aut}\nolimits _ {R ^ {\ \prime}} ( X ^ {\ \prime} \mid X _{0} ) \rightarrow \mathop{\rm Aut}\nolimits _{R} ( X _ {R ^ {\ \prime}} ^ {\ \prime} \otimes R \mid X _{0} )$$ является сюръективным. Это условие выполняется, например, если $X _{0}$ – гладкая схема и $H ^{0} ( X _{0} ,\ T _ {X _{0}} ) = 0$. При этом, если $H ^{2} ( X _{0} ,\ T _ {X _{0}} ) = 0$, то формальная схема модулей $M _ {X _{0}}$ является полным регулярным локальным кольцом, изоморфным кольцу $k [[ t _{1} \dots t _{m} ]]$ формальных степенных рядов от $m$ переменных. Число $m$ равно в этом случае $\mathop{\rm dim}\nolimits _{k} \ H ^{1} ( X _{0} ,\ T _ {X _{0}} )$ и называется числом локальных модулей схемы $X _{0}$. В общем случае $\mathop{\rm dim}\nolimits _{k} \ H ^{1} ( X _{0} ,\ T _ {X _{0}} )$ равна размерности касательного пространства к $M _ {X _{0}}$ и ${\widetilde{M} } _ {X _{0}}$, т. е. размерности $\mathop{\rm dim}\nolimits _{k} \ m/m ^{2}$, где $m$ – максимальный идеал соответствующего$\\$ локального кольца, а $$\mathop{\rm dim}\nolimits _{k} \ H ^{1} ( X _{0} ,\ T _ {X _{0}} ) - \mathop{\rm dim}\nolimits \ M _ {X _{0}} \leqslant \mathop{\rm dim}\nolimits _{k} \ H ^{2} ( X _{0} ,\ T _ {X _{0}} ) .$$Наличие нильпотентных элементов в формальной схеме модулей представляет довольно частое явление.

Если версальная (соответственно универсальная) формальная деформация $\varkappa \rightarrow M _ {X _{0}}$ алгебраизуема, т. е. существует плоская схема над $M _ {X _{0}}$, формальное пополнение которой вдоль замкнутого слоя изоморфно $\varkappa$, то соответствующая алгебраизация называется локальной версальной (соответственно универсальной) деформацией $k$-схемы $X _{0}$. Если $X _{0}$ проективна и $H ^{2} ( X _{0} ,\ T _ {X _{0}} ) = 0$, то алгебраизация существует. Например, для полной гладкой кривой рода $g > 1$ существует локальная универсальная деформация над кольцом $k [[ t _{1} \dots t _{3g-3} ]]$. В общем случае, для каждой поляризации $\alpha$ многообразия $X _{0}$ существует максимальная замкнутая подсхема в формальной схеме модулей $M _ {X _{0} ,\ \alpha} \subset M _ {X _{0}}$ такая, что $p ^{-1} ( M _ {X _{0} , \alpha} )$ алгебраизуема. Коразмерность $M _ {X _{0} , \alpha}$ в $M _ {X _{0}}$ не превышает $\mathop{\rm dim}\nolimits _{k} \ H ^{2} ( X _{0} ,\ {\mathcal O} _ {X _{0}} )$. Например, если $X _{0}$ – алгебраическая $K3$-поверхность, $M _ {X _{0}}$ регулярна размерности 20, а для любой поляризации $\alpha$ подсхема $M _ {X _{0} , \alpha}$ регулярна размерности 19.

Теорема Артина об аппроксимации применяется для алгебраизации формальной схемы модулей. Существует схема $S$ конечного типа над $k$ и точка $s _{0} \in S$ с полем вычетов $k$ такая, что пополнение $\widehat{ {\mathcal O} } _ {S , s _{0}} \simeq {\widetilde{M} } _ {X _{0}}$, и существует деформация $X _{0}$ над $S$, индуцирующая версальную локальную деформацию $\widetilde{p} : \ \widetilde \varkappa \rightarrow {\widetilde{M} } _ {X _{0}}$. Схема $S$ определена однозначно с точностью до локального изоморфизма в этальной топологии (см. Артин. 1970). Относительно деформации особых многообразий и особых точек см. Особая точка алгебраического многообразия. Относительно деформации групповых схем см. Групповая схема.