Асимптоти́чески усто́йчивое реше́ние, решение дифференциальной системы, устойчивое по Ляпунову и притягивающее все остальные решения с достаточно близкими начальными значениями. Таким образом, решение$$x\left(\tau, \xi_0\right),\quad x\left(\alpha, \xi_0\right)=\xi_0,$$системы$$\tag{*}\frac{d x}{d \tau}=f(\tau, x)$$с правой частью $f(\tau, \xi)$, заданной для всех $\tau \geqslant \alpha$, $\xi \in \mathbb{R}^n$ и обеспечивающей существование и единственность решений системы (*), будет асимптотически устойчивое решение, если оно вместе со всеми достаточно близкими решениями$$x(\tau, \xi),\quad\left|\xi-\xi_0\right|<h \quad h>0,$$определено для всех $\tau \geqslant \alpha$ и если для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta$, $0<\delta<h$ такое, что $\left|\xi-\xi_0\right|<\delta$ влечёт$$\left\|x(\tau, \xi)-x\left(\tau, \xi_0\right)\right\|<\varepsilon$$для всех $\tau \geqslant \alpha$ и$$\left\|x(\tau, \xi)-x\left(\tau, \xi_0\right)\right\| \longrightarrow 0 \quad \text { при } \quad \tau \longrightarrow+\infty.$$Понятие «асимптотически устойчивое решение» введено А. М. Ляпуновым (Ляпунов. 1956); оно широко используется в теории устойчивости наряду с различными специальными типами равномерной асимптотической устойчивости (Красовский. 1959).