Число Гаусса

Число́ Га́усса, целое комплексное число ${\displaystyle a+bi}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ – любые целые вещественные числа. С геометрической точки зрения числа Гаусса образуют на плоскости решётку всех точек с целыми координатами. Числа Гаусса впервые были рассмотрены К. Ф. Гауссом в 1832 г. в работе о биквадратичных вычетах. Им же были найдены основные свойства множества ${\displaystyle \Gamma }$ целых комплексных чисел.

${\displaystyle \Gamma }$ является кольцом; единицами ${\displaystyle \Gamma }$ (т. е. делителями единичного элемента) будут ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle i}$,${\displaystyle -i}$; других единиц нет. Простыми (неразложимыми в нетривиальное произведение) числами кольца ${\displaystyle \Gamma }$ – гауссовыми простыми числами – будут числа вида

${\displaystyle \alpha =a+bi}$,

нормы (модули) ${\displaystyle N(\alpha )=a^{2}+b^{2}=p}$ которых есть рациональные простые числа ${\displaystyle p}$ вида ${\displaystyle 4n+1}$ и ${\displaystyle 4n+3}$. Примеры простых чисел Гаусса: ${\displaystyle 1+2i}$, ${\displaystyle 3+4i}$, ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 7}$ и др.

Любое число из ${\displaystyle \Gamma }$ однозначно раскладывается в произведение простых чисел Гаусса. Кольца, характеризующиеся этим свойством, называются гауссовыми кольцами, или факториальными кольцами.