Характер Понтрягина

Хара́ктер Понтря́гина ${\displaystyle \operatorname {ph} }$, характеристический класс, определяемый равенством ${\displaystyle {\rm {{ph}(\xi )={\rm {{ch}(\xi \otimes \mathbb {C} )}}}}}$, где ${\displaystyle \xi \otimes \mathbb {C} }$ – комплексификация расслоения ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle {\rm {ch}}}$ – характер Чжэня. Характер Понтрягина как элемент кольца ${\displaystyle H^{**}\left(BO_{n};\mathbb {Q} \right)}$ задаётся чётным симметрическим рядом ${\displaystyle \sum _{i=1}^{[n/2]}\left(e^{x_{i}}+e^{-x_{i}}\right)}$ и обладает свойствами

${\displaystyle {\rm {{ph}(\xi \otimes \eta )=\operatorname {ph} \xi \cdot \operatorname {ph} \eta ,\quad \operatorname {ph} (\xi \oplus \eta )=\operatorname {ph} \xi +\operatorname {ph} \eta }}}$.

Индексный класс ${\displaystyle I(\xi )}$ полагается равным ${\displaystyle T(\xi \otimes \mathbb {C} )}$, где ${\displaystyle T\in H^{**}\left(BU_{n};\mathbb {Q} \right)}$ – класс Тодда. Индексный класс ${\displaystyle I\in H^{**}\left(BO_{n};\mathbb {Q} \right)}$ выражается через образующие ${\displaystyle {\rm {By}}}$ по формуле

${\displaystyle I=\prod {\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod {\frac {-x_{i}}{1-e^{x_{i}}}}}$.

Имеет место следующая теорема о связи характера Понтрягина с классом ${\displaystyle {\widehat {A}}}$. Пусть ${\displaystyle \xi }$ – действительное векторное расслоение над базой ${\displaystyle B}$, имеющее ${\displaystyle \operatorname {Spin} _{n}}$-структуру, ${\displaystyle n=\operatorname {dim} \xi =8k}$. Для таких расслоений имеется изоморфизм Тома в действительной ${\displaystyle K}$-теории:

${\displaystyle \Phi \colon KO^{*}(B)->{\widetilde {KO}}^{*}\left(B^{\xi }\right)}$.

Пусть

${\displaystyle \Phi _{H}\colon H^{*}(B;\mathbb {Q} )->{\widetilde {H}}^{*}\left(B^{\mathbf {\xi } };\mathbb {Q} \right)}$

– изоморфизм Тома, однозначно определённый ориентацией расслоения ${\displaystyle \xi }$. Тогда

${\displaystyle \Phi _{H}^{-1}\mathrm {ph} (\Phi (1))={\widehat {A}}(-\xi )}$.

Эта формула является точным аналогом соответствующего утверждения о связи характера Чжэня с классом Тодда.

Если ${\displaystyle \xi }$ – комплексное векторное расслоение, то ${\displaystyle T(\xi )={\widehat {A}}((\xi )_{\mathbb {R} })e^{c_{1}(\xi )/2}}$, здесь ${\displaystyle (\xi )_{\mathbb {R} }}$ – овеществление расслоения, ${\displaystyle T}$ – класс Тодда.